关于线性空间定义的一点注记

为了在使用上方便，对某些概念进行定义时，总会给上更多的限制条件。这样一来，在验证某些概念时就需要验证更多条件，这显然不是我们想要的。但通过下文的证明，这多余的条件其实更加方便使用。本文讨论的是，线性空间八大公理与七大公理等价的问题。目的就是为了说明上面的事实，引导学生学会读书。

在郭聿琦等主编的《线性代数带引》，或者说任何一本代数学教材，在定义线性空间时均采用了如下的八大公理：

但是笔者在学习过程中发现，从本质上讲，八大公理只需七大公理即可，第一公理可由后七公理导出。本文正是为证明此命题的。

首先证明两个事实：

事实一、

事实二、

说明：为了避免在命题证明过程中出现循环引用的情况，下面的推导过程前后步骤间均给出直接引用的事实，用记号表示这一原则，其中的表示利用公理（2）可由得到。

证明：

（事实一）

综上事实一即得证.

（事实二）

基于上面两个事实，下面证明下面的命题：

命题：线性空间中八大公理（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）与七大公理（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）等价。

可以看出，两大公理体系仅有一个公理的差别，因此为证明此命题只需要公理（1）可以由其余七大公理导出即可。

证明：必要性是显然成立的；

充分性

只需证明（1）可由（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）推出即可。

综上全部，命题即得以证明。

可以看出，上面两个定义的等价性是毋庸质疑的；并且可以看出，在证明的过程中只是反复的引用公理事实。这就启示我们在定义概念时，多加条件其实没有影响，相反还会简化我们验证的过程，否则每次都要重复上面的过程去验证交换律，这就是公理化体系的优点。

这个命题是由我的恩师王正攀转述给我们的，他得之于郭聿琦教授。

参考文献

[1]郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.