漫谈高等代数中一类具有共性的问题

摘要：本文通过几个小的命题阐述了高等代数中一类具有共性的问题的证明方法.探讨了一种解题的思路.

关键词：共性；平凡；过渡；一般；背景；基本元

序言

经过大学本科一年对高等代数的学习，现在回过头再重新审视它，我发现散落在各个章节的问题中有一类具有共同的指导思想，现择其一二，整理成文，以飨读者，聊以为一年来的学习总结.

正文

很多时候，我们发现高等代数的证明很难，拿到题目根本不知从何下手，经过一年来的经验积累以及对相关概念的深刻认识，对于一类题目我找到了一套行之有效的方法.对于一些比较难的证明题，往往从其最平凡的方面入手，我们可以得到很好的结论，然后再由平凡过渡到一般，对命题加以证明，而这种过渡往往又是很普通的，不外乎此问题的背景所遵循的那一套平凡的原则，经过这样一种平凡到一般的过渡，一个貌似困难的命题就得到了证明，我把这套方法称之为“退一步海阔天空”.多看类似的问题不仅可以加深对问题的认识，提升数学素养，同时也可以提高对知识掌握的熟练度和运用的灵活度.各种滋味就在本文中慢慢体会吧.

类似的命题

类似的命题：

抽象

以上所有命题我可以用一个命题进行归纳演绎（对个别问题需做适当调整）：

设A为所研究问题背景下固定的一个元素，如果对背景下的任意元素B，条件F(A，B)均成立，则A必满足条件G（A）.

为了叙述方便，在证明开始之前，我先引进一个概念“基本元”.所谓基本元，是指能够完全反映我所问题背景的一个或者一组元素，即基本元是我所研究问题背景下最本质的东西，比如基底就是我研究空间时的基本元，并且问题背景下的元素对于基本元满足线性运算.基于此，我开始我的证明.

证明：特别的，对于基本元，条件F(A，)成立，对条件F进行等价变形自然的我可以得到A满足条件G（A）.到此为止我额外的得到了一系列结论.

一般地说来，由于问题背景下的元素B对于基本元满足线性运算，而F(A，B)往往对于条件F(A，)也是满足线性运算的（此满足线性运算与我们所知的满足线性运算有些许差异，否则另行考虑证明方法），经由简单的演绎，B对条件F(A，B)成立，到此为止我已证明整个结论.从而得到结论A满足条件G（A）.

最后我给上研究问题时我用到的最本质的思想：A对背景下的任意元素B成立条件F（A，B）当且仅当A对背景下的基本元成立条件F（A，B）.

正是在此思想的指导下，我才可能把一个困难的问题变得简单化此思想的证明由于是很平凡的，在此不再给与证明.

结尾

以上所列举的几个命题仅是高等代数天空中的几颗渺小的星星，在浩瀚的高等代数天空中有无数的课题等待着我们去研究，去发现.当我们研究这些问题的时候，需要特别注意问题背景下的基本元，如矩阵的等价标准型，向量组的极大无关组，线性空间的标准基底，等等.把握这些基本元不仅是我们学习时需要注意的，而且也是解决困难题的一大方法，愿各位读者能从本文中获取些许东西，这正是我想送给大家的.

参考文献

[1]郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.

[2]杨子胥.高等代数习题解（上下册）[M].济南：山东科学技术出版社，2005.

[3]张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.

[4]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京：高等教育出版社，2009.

[5]北京大学数学系.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6]胡适耕.刘先忠.高等代数定理·问题·方法[M].北京：科学出版社，2007.

[7]杨子胥.高等代数习题解（上下册）[M].济南：山东科学技术出版社，1982.