苏科版八年级上册数学期末试卷

2017-05-05

苏科版八年级上册数学期末试题

一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上

1.在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是( )

A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.2

2.已知∠α=32°，则∠α的余角为( )

A.58° B.68° C.148° D.168°

3.使式子有意义的x的范围是( )

A.x≠2 B.x≤﹣2 C.x≥2 D.x≤2

4.下列运算不正确的是( )

A.x6÷x3=x3 B.(﹣x3)4=x12 C.x2•x3=x5 D.x3+x3=x6

5.化简 + 的结果是( )

A.x+2 B.x﹣1 C.﹣x D.x

6.下列根式中，属于最简二次根式的是( )

A.﹣ B. C. D.

7.下列四组数据中，“不能”作为直角三角形的三边长的是( )

A.3，4，6 B.5，12，13 C.6，8，10 D. ，，2

8.如图，△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，则∠A的度数是( )

A.30° B.36° C.45° D.20°

9.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是( )

A.菱形 B.对角线相互垂直的四边形

C.正方形 D.对角线相等的四边形

10.已知a﹣b=3，b+c=﹣4，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为( )

A.4 B.﹣4 C.3 D.﹣3

二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

11.数0.000001用科学记数法可表示为 .

12.分解因式：x2y﹣4y= .

13.一次体检中，某班学生视力结果如下表：

0.7以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0以上

5% 8% 15% 20% 40% 12%

从表中看出全班视力数据的众数是 .

14.计算：(﹣2a﹣2b3)÷(a3b﹣1)3= .

15.已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是 .

16.如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，AC的长为12cm，则△BCE的周长等于 cm.

17.若点P(1﹣m，2+m)关于x轴对称的点的坐标在第一象限，则m的取值范围是 .

18.a、b为实数，且ab=1，设P= ，Q= ，则P Q(填“>”、“<”或“=”).

三、解答题：本大题共10小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

19.计算：

(1)(﹣ )﹣1﹣ +(1﹣ )0﹣| ﹣2|

(2)[(x+2y)(x﹣2y)﹣(x+4y)2]÷4y.

20.解方程组： .

21.已知a﹦ ( + )，b﹦ ( ﹣ )，求a2﹣ab+b2的值.

22.先化简，再求值：( ﹣x+1) ，其中x为﹣1≤x≤2的整数.

23.如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′.求梯子顶端下滑的距离BB′.

24.如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF.

求证：四边形BFDE是平行四边形.

25.如图，在3×3的正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴(水平线为横轴)，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称.

(1)原点是 (填字母A，B，C，D );

(2)若点P在3×3的正方形网格内的坐标轴上，且与四个格点A，B，C，D，中的两点能构成面积为1的等腰直角三角形，则点P的坐标为 (写出可能的所有点P的坐标)

26.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元.

(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?

(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元?

27.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA=PE.

(1)求证：PC=PE;

(2)求∠CPE的度数;

(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由.

28.如图，矩形AOBC，点A、B分别在x、y轴上，对角线AB、OC交于点D，点C( ，1)，点M是射线OC上一动点.

(1)求证：△ACD是等边三角形;

(2)若△OAM是等腰三角形，求点M的坐标;

(3)若N是OA上的动点，则MA+MN是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值;若不存在，请说明理由.

苏科版八年级上册数学期末试卷参考答案

1.在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是( )

A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.2

【考点】有理数大小比较.

【分析】画出数轴，在数轴上标出各点，再根据数轴的特点进行解答即可.

【解答】解：这四个数在数轴上的位置如图所示：

由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3.

故选A.

【点评】本题考查的是有理数的大小比较，利用数形结合比较出有理数的大小是解答此题的关键•.

2.已知∠α=32°，则∠α的余角为( )

A.58° B.68° C.148° D.168°

【考点】余角和补角.

【分析】根据余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角可得答案.

【解答】解：∠α的余角是：90°﹣32°=58°.

故选A.

【点评】此题主要考查了余角，关键是掌握互为余角的两个角的和为90度.

3.使式子有意义的x的范围是( )

A.x≠2 B.x≤﹣2 C.x≥2 D.x≤2

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数可得x﹣2≥0，再解即可.

【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，

解得：x≥2，

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数是非负数.

4.下列运算不正确的是( )

A.x6÷x3=x3 B.(﹣x3)4=x12 C.x2•x3=x5 D.x3+x3=x6

【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.

【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减;积的乘方等于乘方的积;同底数幂的乘法底数不变指数相加;合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案.

【解答】解：A、同底数幂的除法底数不变指数相减，故A正确;

B、积的乘方等于乘方的积，故B正确;

C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确;

D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D错误;

故选：D.

【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键.

5.化简 + 的结果是( )

A.x+2 B.x﹣1 C.﹣x D.x

【考点】分式的加减法.

【分析】先把异分母转化成同分母，再把分子相减即可.

【解答】解： + = ﹣ = = =x;

故选D.

【点评】此题考查了分式的加减运算，在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可;如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减.

6.下列根式中，属于最简二次根式的是( )

A.﹣ B. C. D.

【考点】最简二次根式.

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误;

B、被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确;

C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误;

D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误;

故选：B.

【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

7.下列四组数据中，“不能”作为直角三角形的三边长的是( )

A.3，4，6 B.5，12，13 C.6，8，10 D. ，，2

【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.

【解答】解：A、42+32≠62，不是直角三角形，故此选项正确;

B、122+52=132，是直角三角形，故此选项错误;

C、62+82=102，是直角三角形，故此选项错误;

D、( )2+( )2=22，是直角三角形，故此选项错误;

故选：A.

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形.

8.如图，△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，则∠A的度数是( )

A.30° B.36° C.45° D.20°

【考点】等腰三角形的性质.

【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小.

【解答】解：设∠A=x°.

∵BD=AD，

∴∠A=∠ABD=x°，

∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，

∵BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD=2x°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠BCD=2x°，

在△ABC中x+2x+2x=180，

解得：x=36，

∴∠A=36°.

故选B.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质;熟练掌握等于三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键.

9.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是( )

A.菱形 B.对角线相互垂直的四边形

C.正方形 D.对角线相等的四边形

【考点】矩形的判定;三角形中位线定理.

【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解;首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解.

【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形.

证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG;

∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，

∴AC⊥BD;故选B.

【点评】本题主要利用了矩形的性质和三角形中位线定理来求解.

10.已知a﹣b=3，b+c=﹣4，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为( )

A.4 B.﹣4 C.3 D.﹣3

【考点】因式分解的应用.

【分析】先利用已知条件计算出a+c=﹣2，然后利用分组分解的方法把ac﹣bc+a2﹣ab因式分解，再利用整体代入的方法计算.

【解答】解：∵ac﹣bc+a2﹣ab

=c(a﹣b)+a(a﹣b)

=(a﹣b)(c+a)，

∵a﹣b=3，b+c=﹣4，

∴a+c=﹣1，

∴ac﹣bc+a2﹣ab=3×(﹣1)=﹣3;

故选：C.

【点评】本题考查了因式分解的应用：用因式分解解决求值问题;利用因式分解解决证明问题;利用因式分解简化计算问题.本题的关键是把所求代数式分解因式.

二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

11.数0.000001用科学记数法可表示为 1×10﹣6 .

【考点】科学记数法—表示较小的数.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解：0.000 001=1×10﹣6.

故答案为：1×10﹣6.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

12.分解因式：x2y﹣4y= y(x+2)(x﹣2) .

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解.

【解答】解：x2y﹣4y，

=y(x2﹣4)，

=y(x+2)(x﹣2).

故答案为：y(x+2)(x﹣2).

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键.

13.一次体检中，某班学生视力结果如下表：

0.7以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0以上

5% 8% 15% 20% 40% 12%

从表中看出全班视力数据的众数是 1.0 .

【考点】众数.

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.

【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，1.0占全班人数的40%，故1.0是众数.

故答案为：1.0.

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力.解题时注意仔细观察，难度不大.

14.计算：(﹣2a﹣2b3)÷(a3b﹣1)3= ﹣ .

【考点】负整数指数幂.

【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得单项式的除法，根据单项式的除法，可得负整数指数幂，根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案.

【解答】解：原式=(﹣2a﹣2b3)÷(a9b﹣3)

=﹣2a﹣2﹣9b3﹣(﹣3)

=﹣2a﹣11b6

=﹣ .

故答案为：﹣ .

【点评】本题考查了负整数指数幂，利用同底数幂的除法得出负整数指数幂是解题关键，注意负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数.

15.已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是 5 .

【考点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线.

【专题】计算题.

【分析】直角三角形中，斜边长为斜边中线长的2倍，所以求斜边上中线的长求斜边长即可.

【解答】解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8，

则斜边长= =10，

∴斜边中线长为 ×10=5，

故答案为 5.

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理根据2直角边求斜边是解题的关键.

16.如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，AC的长为12cm，则△BCE的周长等于 20 cm.

【考点】线段垂直平分线的性质.

【分析】由AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而可得△BCE的周长=BC+AC.

【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∵BC=8cm，AC的长为12cm，

∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=20cm.

故答案为：20.

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质.注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

17.若点P(1﹣m，2+m)关于x轴对称的点的坐标在第一象限，则m的取值范围是 m<﹣2 .

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.

【分析】首先确定P点所在象限，再根据第四象限内点的坐标符号可得不等式组，再解不等式组即可.

【解答】解：∵点P(1﹣m，2+m)关于x轴对称点在第一象限，

∴点P在第四象限，

∴ ，

解得：m<﹣2.

∴m的取值范围是：m<﹣2，

故答案为m<﹣2.

【点评】此题主要考查了坐标系中各象限内点的坐标符号，以及关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握各象限内点的坐标符号.

18.a、b为实数，且ab=1，设P= ，Q= ，则P = Q(填“>”、“<”或“=”).

【考点】分式的加减法.

【专题】计算题.

【分析】将两式分别化简，然后将ab=1代入其中，再进行比较，即可得出结论.

【解答】解：∵P= = ，把ab=1代入得： =1;

Q= = ，把ab=1代入得： =1;

∴P=Q.

【点评】解答此题关键是先把所求代数式化简再把已知代入即可.

三、解答题：本大题共10小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

19.计算：

(1)(﹣ )﹣1﹣ +(1﹣ )0﹣| ﹣2|

(2)[(x+2y)(x﹣2y)﹣(x+4y)2]÷4y.

【考点】实数的运算;整式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.

【专题】计算题;实数.

【分析】(1)原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果;

(2)原式中括号中利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果.

【解答】解：(1)原式=﹣2﹣ +1﹣2+ =﹣3;

(2)原式=(x2﹣4y2﹣x2﹣8xy﹣16y2)÷4y=(﹣20y2﹣8xy)÷4y=﹣5y﹣2x.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.解方程组： .

【考点】解二元一次方程组.

【专题】计算题;一次方程(组)及应用.

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.

【解答】解：，

②﹣①得：y=﹣2，

把y=﹣2代入②得：x=﹣1，

则方程组的解为 .

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

21.已知a﹦ ( + )，b﹦ ( ﹣ )，求a2﹣ab+b2的值.

【考点】二次根式的化简求值.

【分析】本题需先把a2﹣ab+b2进行整理，化成(a﹣b)2+ab的形式，再把得数代入即可求出结果.

【解答】解：a2﹣ab+b2，

=(a﹣b)2+ab，

∵a﹦ ( + )，b﹦ ( ﹣ )，

∴a2﹣ab+b2，

=[ ﹣ ( ﹣ )]2+[ × ( ﹣ )]，

=3+ ，

=3.5

【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值问题，在解题时要找出简便方法，再把得数代入即可.

22.先化简，再求值：( ﹣x+1) ，其中x为﹣1≤x≤2的整数.

【考点】分式的化简求值.

【分析】首先计算括号内的分式，把除法转化为乘法，然后进行约分，然后找出适合分式的x值，代入化简后的式子求值即可.

【解答】解：原式= •

= •

∵x为﹣1≤x≤2的整数，

∴x=0，

∴原式=1.

【点评】此题考查分式的化简求值，掌握分式的化简与计算方法是解决问题的关键.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】在△RtAOB中依据勾股定理可知AB2=40，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长.

【解答】解：在△RtAOB中，由勾股定理可知AB2=AO2+OB2=40，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2=A′O2+OB′2.

∵AB=A′B′，

∴A′O2+OB′2=40.

∴OB′= = .

∴BB′=6﹣ .

【点评】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据梯子的长度不变列出方程是解题的关键.

24.如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF.

求证：四边形BFDE是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形.

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵AE=CF，

∴AD﹣AE=BC﹣CF，

∴ED=BF，

又∵AD∥BC，

∴四边形BFDE是平行四边形.

【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键.

(1)原点是 B (填字母A，B，C，D );

(2)若点P在3×3的正方形网格内的坐标轴上，且与四个格点A，B，C，D，中的两点能构成面积为1的等腰直角三角形，则点P的坐标为 (﹣2，0)或(0，0)或(0，﹣2) (写出可能的所有点P的坐标)

【考点】坐标与图形性质;等腰直角三角形.

【分析】(1)以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案;

(2)根据等腰直角三角形的特点以及点P在坐标轴上即可作出判断.

【解答】解：(1)当以点B为原点时，A(﹣1，﹣1)，C(1，﹣1)，则点A和点C关于y轴对称，

故答案为：B.

(2)符合题意的点P的位置如图所示.

根据图形可知点P的坐标为(﹣2，0)或(0，0)或(0，﹣2).

故答案为：(﹣2，0)或(0，0)或(0，﹣2).

【点评】本题主要考查的是坐标与图形的性质，依据轴对称图形的性质和等腰直角三角形的性质确定出原点的位置和点P的位置是解题的关键.

(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?

【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.

【分析】(1)可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可;

(2)设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答.

【解答】解：(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有

+10= ，

解得x=120，

经检验，x=120是原方程的解，且符合题意.

答：该商家购进的第一批衬衫是120件.

(2)3x=3×120=360，

设每件衬衫的标价y元，依题意有

(360﹣50)y+50×0.8y≥(13200+28800)×(1+25%)，

解得y≥150.

答：每件衬衫的标价至少是150元.

【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键.

27.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA=PE.

(1)求证：PC=PE;

(2)求∠CPE的度数;

(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

【分析】(1)先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE;

(2)由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论;

(3)借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论.

【解答】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE;

(2)解：由(1)知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠EPC=90°;

(3)∠ABC+∠EPC=180°，

理由：解：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键.

28.如图，矩形AOBC，点A、B分别在x、y轴上，对角线AB、OC交于点D，点C( ，1)，点M是射线OC上一动点.

(1)求证：△ACD是等边三角形;

(2)若△OAM是等腰三角形，求点M的坐标;

(3)若N是OA上的动点，则MA+MN是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值;若不存在，请说明理由.

【考点】一次函数综合题.

【专题】综合题;一次函数及其应用.

【分析】(1)利用点C坐标，即可求出相应角度，利用矩形性质，即可求出三角形CDA两个内角度数为60°，即可证明三角形是等边三角形.

(2)由等腰三角形性质，对三角形OAM三边关系进行讨论，分别求出三种情况下点M的坐标即可;

(3)做点A关于直线OC对称点，利用对称性可以求出最小值.

【解答】解：(1)∵C( ，1)，

∴AC=1，OA= ，

∴OC=2，

∴∠COA=30°，∠OCA=60°，

∵矩形AOBC，

∴∠ABC=∠OCB=30°，

∴∠ADC=60°，

∴△ACD是等边三角形;

(2)△OAM是等腰三角形，

当OM=MA时，此时点M与点D重合，

∵C( ，1)，点D为OC中点，

∴M( ， ).

当OM1=OA时，做M1E⊥OA，垂足为E，如下图：

∴OM1=OA= ，

由(1)知∠M1OA=30°，

∴M1E= ，OE= ，

∴M1( ， ).

当OA=OM2时，做M2F⊥OA，垂足为F，如上图：

AM2= ，

由(1)知∠COA=∠AM2O=30°，

∴∠M2AF=60°，

∴AF= ，M2F= ，

M2( ， ).

综上所述：点M坐标为M( ， )、( ， )、( ， ).

(3)存在，做点A关于直线OC对称点为G，如下图：

则AG⊥OC，且∠GOA=60°OG=OA= ，

∴ON= ，GN= ，

∵点A、G关于直线OC对称，

∴MG=MA，

∴MA+MN=MG+MN，

∵N是OA上的动点，

∴当GN⊥x轴时，MA+MN最小，

∴存在MA+MN存在最小值，最小值为 .

【点评】题目考查了一次函数综合应用，考查知识点包括：等腰三角形、线段最值、动点问题，解决此类题目关键是找到图形变换的规律，题目整体较难.适合学生压轴训练.

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