高中数学数列通项公式的求法

数列通项公式是高中数学的重点与难点，那么数列通项公式的有什么求解方法呢?下面由小编告诉你答案。

高中数学数列通项公式的求法总结

一、一阶线性递推数列求通项问题

一阶线性递推数列主要有如下几种形式：

1.

这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).

当

为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当

为等差数列时，则

为二阶等差数列，其通项公式应当为

形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是

，其常数项一定为0. 2.

这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).

当

为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式. 3.

; 这类数列通常可转化为

，或消去常数转化为二阶递推式

. 例1已知数列

中，

,求

的通项公式. 解析：解法一：转化为

型递推数列. ∵

∴

又

，故数列{

｝是首项为2，公比为2的等比数列.∴

，即

. 解法二：转化为

型递推数列. ∵

=2xn-1+1(n≥2) ① ∴

=2xn+1 ② ②-①，得

(n≥2)，故{

｝是首项为x2-x1=2，公比为2的等比数列，即

，再用累加法得

.

解法三：用迭代法.

当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明. 例2 已知函数

的反函数为

求数列

的通项公式. 解析：由已知得

，则

. 令

=,则

.比较系数，得

. 即有

.∴数列{

｝是以

为首项，

为公比的等比数列，∴

，故

.

评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之.

(4)

若取倒数,得

，令

，从而转化为(1)型而求之. (5)

; 这类数列可变换成

，令

，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例3 设数列

求数列

的通项公式. 解析：∵

，两边同除以

，得

.令

，则有

.于是，得

，∴数列

是以首项为

，公比为

的等比数列，故

，即

，从而

. 例4 设

求数列

的通项公式. 解析：设

用

代入，可解出

. ∴

是以公比为-2，首项为

的等比数列. ∴

，即

. (6)

这类数列可取对数得

，从而转化为等差数列型递推数列.

二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列

例5 设数列

求数列

的通项公式. 解析：由

可得

设

故

即

用累加法得

或

例6 在数列

求数列

的通项公式.

解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列.

令

使数列

是以

为公比的等比数列(

待定). 即

∴

对照已给递推式， 有

即

的两个实根. 从而

∴

① 或

② 由式①得

;由式②得

. 消去

. 例7 在数列

求

. 解析：由

①，得

②. 式②+式①，得

，从而有

.∴数列

是以6为其周期.故

=

=-1.

三、特殊的n阶递推数列

例8 已知数列

满足

，求

的通项公式. 解析：∵

① ∴

② ②-①，得

.∴

故有

将这几个式子累乘，得

又

例9 数列{

｝满足

，求数列{

｝的同项公式. 解析：由

①，得

②. 式①-式②，得

，或

，故有

. ∴

,

. 将上面几个式子累乘，得

，即

. ∵

也满足上式，∴

.高中数学常见数列通项公式

累加法

递推公式为a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和

例：数列{an}，满足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通项公式

解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))

∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)

累乘法

递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积

例：数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an

解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)

构造法

将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列

连加相减，连乘相除

例：{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

∴an=3(n+1)