学好高中数学必须掌握的的数学思想

2017-06-26

学好高中数学必须掌握的的数学思想

1、函数与方程思想

函数的思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决。

方程的思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使获得解决。

函数与方程思想——重要形式

(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点;

(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f(x)，当y>0时，就转为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式;

(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题有时十分有效;

(4)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论;

(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

例题1

2、数形结合思想

数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

数形结合思想——实现途径

(1)通过坐标系“形题数解”：

借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化.这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的).值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理).

实现数形结合，常与以下内容有关：

①实数与数轴上的点的对应关系;

②函数与图像的对应关系;

③曲线与方程的对应关系;

④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等;

⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式(x-2)2+(y-1)2=4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆.

(2)通过转化构造“数题形解”：

许多代数结构都有着相应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，

将a(a>0)与距离互化;

将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2-2|a||b|cosθ(θ=60°或θ=120°)与余弦定理沟通;

将a≥b≥c>0且b+c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通;

将有序实数对(或复数)和点沟通;

将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.

这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的).另外，函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径.

3、分类讨论思想

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.

分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略. 其基本步骤如下：

⑴确定讨论对象和确定研究的全域;

⑵对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级);

⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决;

⑷归纳总结，整合得出结论.

分类讨论思想——必要性

⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等;

⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等;

⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;

⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论;

⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法;

⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。

例题：

4、转化与化归思想

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。

转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根)，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

(1)直接转化法

(2)换元法

(3)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化;

(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题;

(5)坐标法

(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径;

(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题;

(8)一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化;

(9)等价问题法

(10)补集法：(正难则反)若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集CUA获得原问题的解决。

学好高中数学必须掌握的的数学思想

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