如何在教学中培养学生的逆向思维能力

2017-03-14

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内容提要:逆向思维是一种重要的思维方式,掌握了这种思维方式,可以加深对知识的理解,发展学生的智力。初中数学教学要从概念、定理、公式、法则的教学和解题分析、解题运算中,培养和训练学生的逆向思维能力,发展学生的思维品质,提高学生的素质。

关键词:数学教学;逆向思维;培养、训练。

初中数学新课程标准要求,数学教学要着眼于学生素质的培养,其中“数学思考”能力是四大教学目标之一,是学生数学能力的核心。数学的学习过程不仅仅是知识的接收、存储和应用过程,更重要的是思维的训练和发展过程。然而对于思维问题,从技术层面上有很多的分类方法,通常可以分为常规思维和非常规思维两大类。在实际的学习、工作和生活中,围囿于问题情境和习惯,人们多习惯于常规思维。数学教学中对非常规思维的训练和培养也显得相对薄弱,没有形成基本的思维技能和习惯,不利于学生思维能力的培养,不利于学生创造力的发展。而在非常规思维中,最基本、最重要的就是逆向思维。下面笔者结合自己数学教学的实践,浅谈一下逆向思维能力的培养,期以抛砖引,和同行们交流。

一、什么是逆向思维?

所谓逆向思维,就是从与常规思维相反的方向去认识问题,从对立的角度去思考问题,寻求解题途径,解决问题的一种数学思想方法。利用逆向思维可以加深对概念、定义、定理、公式、法则、性质的正确、深刻的理解和应用,可以形成反思和换位思考的思维素质,利于学生分析思维能力的培养和提高,发展学生的智力,有效地解决复杂的问题。

二、怎样培养和训练学生的逆向思维能力?

初中数学教材中体现逆向思维的材料很多,如概念、定义、定理、公式、法则、运算与逆运算,分析与综合等,都为逆向思维提供了丰富的素材,因此,对逆向思维的培养要贯穿于课堂教学的全部过程中,让学生养成面对问题就会自觉进行逆向思维的习惯,具体可以从以下几个方面进行:

1、在概念、定义、定理、公式、法则的学习中进行逆向思维训练

在数学概念、定义、定理、公式、法则的学习中,要教学生善于逆向和从反面去理解思考概念、定义、定理的内涵,重视互逆概念的比较,重视公式互逆使用,要形成逆向思考的习惯。

(1)、在概念、定义的应用中培养学生逆向思维

数学中的很多概念都要教学生从正、逆两方面去思考和理解,如绝对值的概念,“正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零”除了从正向去理解计算,还要教学生逆向去理解,如“计算︱5︱=?︱-5︱=?”,这是从正向去理解计算,“一个数的绝对值等于5,这个数是多少?”这是逆向去理解计算。又如对一元二次方程根的概念的理解,除了正向理解,若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根,则ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0;还要从反向理解,若ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,且x1≠x2,则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根。当我们从正逆两个方面理解了这个一元二次方程的根的定义后,再来做下面的这个题:

例1、 (1)、若m、n是方程x2-3x+1=0的两个根,求m2+n2的值。

(2)、若p2-3p+1=0,q2-3q+1=0,求p2+q2的值。

只需正用或逆用定义,结合根与系数的关系便可以迎刃而解了。

初中数学中像这样必须从正、逆两方面去思考,才能准确理解把握的定义、概念还有很多,如平方根定义;一次函数中k、b对图像分布的影响,一元二次函数中a、b、c对图像开口方向、与x轴、y轴的交点、对称轴的影响。这里不再一一列举。

(2)、在定理、推论、法则的应用中培养学生逆向思维

在几何教材中,有关图形的性质与判定的定理很多都是互为逆命题的,学生在学习时常常是把握不住题设与结论,导致不能正确的应用定理来说理,教学时要给学生讲清学习定理的方法,弄清定理的题设和结论,正确区分原命题和逆命题,要让学生知道原命题正确,逆命题不一定正确。逆向思维对于定理的学习很重要,熟练地应用逆向思维能很好的学习定理,能有效地进行逆向思维的训练。初中数学中这样的定理有很多如“勾股定理和它的逆定理”、“平行线的性质定理和它的判定定理”、“角平分线性质定理和判定定理”、“线段的中垂线性质定理和判定定理”……尤其是在同一问题中反复应用正、逆定理的情形更能训练逆向思维。

例2、已知:四边形ABCD中, B

AB 、BC、CD、AD的长 C

分别为13、3、4和12,

∠BCD=900

求:四边形ABCD的面积 A D

分析:本题连结BD后,在△BDC中应用勾股定理可以求出BD的长,这时候在△ABD中,再应用勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形,则两个直角三角形的面积和就是四边形ABCD的面积了。 A

例3、已知:△ABC中,DE//BC,

∠B=∠DEN D E

求证:DB=EN

B N C

分析:在图中DB和EN是一个四边形的对边,易想到去证明四边形DBNE为平行四边形,根据定义得出DB=EN。要这样去证明,因为已经有DE∥BC了,所以只需要证明BD//EN。要证明BD//EN,这又需要去证明∠B=∠ENC。而已知∠B=∠DEN ,因此,我们只需去证明∠DEN=∠ENC就可以了,这从已知DE∥BC便可以得出。

在这两个例题中,就分别应用了勾股定理和它的逆定理、平行线的性质定理和判定定理,充分体现了互逆思维的应用。

在代数教材中这样的体现出互逆思维的定理也很多,如一元二次方程的判别式定理,根与系数的关系定理。教学中一定要体会出互逆思维的层次,让学生切实感受到正向和逆向的两种思维过程。

(3)、在公式的应用中培养学生逆向思维

初中数学有很多公式,都必须要求学生能熟练的从正、逆两方面去应用,如二次根式中的公式( )2 = a与a = ( )2 , = . 与 . = 等,指数中的公式am.an=am+n与am+n=am.an ,(ab)n=anbn与an.bn=(ab)n等,多项式乘法中的公式(a+b)(a-b)=a2-b2与a2-b2=(a+b)(a-b) ,(a±b)2=a2±2ab+b2与a2±2ab+b2=(a±b)2等,还有小学就开始学习接触的加法交换律,结合律,乘法结合律,交换律、分配律等,这些公式应用之广之多。

例4、已知am=3,an=2,求a 2m+3n的值。

分析:本题只需逆用幂的运算性质就可以解决。a2m+3n=(am)2.(an)3=32.23=72

例5、计算(a+b-c)2-(a-b+c)2

分析:本题按多项式乘法的常规思路,则要分别把(a+b-c)2和(a-b+c)2展开后再去括号相减,这样做就比较繁琐。如果逆向思考,先用平方差公式分解,则非常简单。

还有在三角形面积公式、圆面积公式、扇形面积、弧长等公式的应用中,已知一些量求另一些量,也体现着逆向思维,教学中除了通过向学生展示对公式的分析、理解、运用,训练学生的逆向思维,还可以编制题组进行训练,使学生感受正向应用公式和逆向应用公式解题的意义,充分认识正向思考和逆向思考是思维的基本形式。

2、在数学方法运用中训练学生的逆向思维

(1)、应用分析法或分析综合法分析问题训练逆向思维能力

在数学解题的分析中,要善于培养学生双向思维意识,当我们强调逆向思维的重要性的时候,并不是说正向思维是一种陈旧的思维形式,事实上,辩证的思维形式应是双向的,正、逆思维是两种不同却又互相联系的思维形式,逆向思维是建立在正向思维的基础上的,解题中逆向思维离不开正向思维,若正向思维受阻就应考虑逆向思维。这两种思维方式在解题分析中常常运用。要教学生学会应用综合法和分析法分析问题,通过对问题应用分析法分析,或者是综合法和分析法同时应用去分析,感受逆向思维的应用,培养逆向思维能力。综合法是从问题的条件出发去分析问题,执因索果,而分析法则是从问题的结论出发,执因索果,由此上溯,用两种方法对同一问题进行分析,采取两头凑的方法最能让学生感受到逆向思维的好处。

例6、已知:如图四边形ABCD内接于⊙O,

AC⊥BD于P,CE=ED,

OF⊥AB于F。

求证:PE=OF

分析:如图,因∠CPD=900,CE=ED,所以CD=2PE;又因OF⊥AB,所以F是AB的中点,因此,若作直径AG,并连结BG,则有BG=2OF。于是。要证PE=OF,只需证CD=BG即可。但CD与BG同为⊙O的弦,因而又只需证它们所对的圆周角∠CAD=∠BAG就行了。又∠APD和∠ABG都是直角,故要证∠CAD=∠BAG,只要能证明∠ADP=∠AGB就成。然而,这是已知的题设和作图所能保证的,到此分析完毕。

(2)、应用反证法和逆推法去思考和证明,训练逆向思维能力

数学中有很多问题从正面去思考解决常常很困难,如果我们改变思维方式,“正”难则“逆”,从反面(向)入手,常有意想不到的效果。反证法和逆推法就是很好的方法,它们都体现了逆向思维,认真学习和领会这些方法能很好的培养学生的逆向思维能力。

例7、“求作一个方程使它的根是—2和3”

分析:学生学习了用分解因式法解一元二次方程后,如果对用十字交叉法解一元二次方程熟悉了,运用逆推的方法去逆向思考,学生便很快的就会构造出方程(x+2)(x-3)=0,展开后便可以得到x2-x-6=0,它的根就是-2和3。

例8、在平面内如果两条直线都和第三条直线平行,那么着两条直线也互相平行。

分析:如果教学生用反证法从结论的反面“不互相平行”去逆向思考,那就得到这两条直线必须相交,一旦相交了就有交点,这样在平面内过一个点就有两条直线和第三条直线平行,就与公理“平面内过一个点有且只有一条直线和已知直线平行”矛盾,所以假设不成立。因此假设的反面“互相平行”就是成立的。

3、在数学解题运算的训练中让学生理解逆向思维

初中数学的六种运算,加和减、乘和除、乘方和开方及多项式乘法和因式分解,都是互逆的运算,都体现着逆向思维,在教学生学习的过程中,要让学生理解它们的互逆关系,灵活的解决问题。

例9、若a>1,a+a-1=3,求a-a-1的值。

分析:对已知a+a-1=3两边平方得a2+2+a-2=9,再配方a2-2+a-2=5即a2-2a.a-1+(a-1))2=5

由此得(a-a-1)-2=5,因为a>1,所以a>a-1,所以,由平方根的定义得到a-a-1=√5

在这里的解题运算过程中,就从正向和逆向分别应用了完全平方公式和零指数幂公式a0=1,逆向思维得到很好的体现。

例10、(1) 已知∣a-2∣+(b-3)2=0,求代数式a2+3ab-b3的值。

(2)已知x2+x-1=0,求代数式2x3+4x2+3的值。

分析:(1)先应用非负数的知识,求出a、b后,再直接把a、b的值代入式子就可以求值了,这是用了直接代入的方法。(2)如果用同样的方法则很繁琐,如果用和(1)逆向的思维方法,考虑整体代入,先把已知变为x2+x=1,再把2x3+4x2+3作如下的变化逐步代入:2x3+4x2+3=2x3+2 x2+2 x2+3=2x(x2+x)+ 2 x2+3=2x+2 x2+3=2(x2+x)+3=5 这里在代入的方法上,一个是直接代入字母的数值,另一个是不求出x的值,而是求出x的代数式的值,这是互逆的两种思维方法。

例11、(1) 二次函数y=x2+bx+c的图像向左平移三个单位,再向上平移2个单位,得二次函数y=x2-2x+1的图像,求b、c的值。

(2)将抛物线y= -(x-1)2+6先向下平移1个单位,再向左平移4个单位,求平移后的抛物线的解析式。

分析:这两个题在题设和结论上是互逆的,解题的关键是抓住抛物线的顶点坐标,(1)是从平移后的抛物线的顶点坐标(1、0),根据平移关系求出原来的抛物线的顶点坐标为(4、-2),再写出它的顶点式,改写成标准解析式,则便知道b、c的值。(2)是从平移前的抛物线顶点坐标(1、6),根据平移关系求出平移后的抛物线的顶点坐标为(-3、5),再写出顶点式 改写成标准解析式即可。从解题思维方法来讲,它们恰好是互逆的,体现了逆向思维。类似的问题在函数中还有很多,如已知函数解析式去找图像特征;知道图像特征去求函数解析式等;像这样在解题中体现互逆的思维方法的问题比比皆是,教学中还可以编制题组对比训练,在学生练习后及时点拨总结归纳,让学生知其然而知其所以然。

综上所述,逆向思维在数学解题中有着广泛的应用,灵活地应用它,不但可以化简解题过程,降低解题难度,巧获解题结果,而且对于锻炼学生的思维品质,提高学生的解题能力,是大有裨益的,因此在平时的数学教学过程中,我们必须有意识、有计划地渗透和强化逆向思维的训练,培养学生的逆向思维能力,提高学生的思维水平。

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