高考数学必修四模块综合检测题(含答案)

2017-02-16

考试是检测学生学习效果的重要手段和方法,考前需要做好各方面的知识储备。下面是小编为大家整理的高考数学必修四模块综合检测题,请认真复习!

高考数学必修四模块综合检测题及答案解析

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2013•江西高考)若sin α2=33,则cos α=( )

A.-23 B.-13

C.13 D.23

【解析】 cos α=1-2sin2α2=1-2×332=1-23=13.

【答案】 C

2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么a•b的值为( )

A.1 B.2

C.3 D.4

【解析】 a+b=(3,k+2),∵a+b与a共线,

∴k+2-3k=0,得k=1.

∴a•b=(1,1)•(2,2)=4.

【答案】 D

3.sin(x+27°)cos(18°-x)+sin(18°-x)cos(x+27°)=( )

A.12 B.-12

C.-22 D.22

【解析】 原式=sin[(x+27°)+(18°-x)]=sin 45°=22.

【答案】 D

4.下列各向量中,与a=(3,2)垂直的是( )

A.(3,-2) B.(2,3)

C.(-4,6) D.(-3,2)

【解析】 因为(3,2)•(-4,6)=3×(-4)+2×6=0,

所以选C.

【答案】 C

5.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于( )

A.-π4 B.π6

C.π4 D.3π4

【解析】 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),

a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),

(2a+b)•(a-b)=9,

|2a+b|=32,|a-b|=3.

设所求两向量夹角为α,则cos α=932×3=22,

∴α=π4.

【答案】 C

6.若α是第四象限的角,则π-α是( )

A.第一象限的角 B.第二象限的角

C.第三象限的角 D.第四象限的角

【解析】 ∵2kπ+3π2<α<2kπ+2π(k∈Z),

∴-2kπ-3π2>-α>-2kπ-2π(k∈Z).

∴-2kπ-π2>π-α>-2kπ-π(k∈Z).故应选C.

【答案】 C

7.在△ABC中,若sin Acos B<0,则此三角形必是( )

A.锐角三角形 B.任意三角形

C.直角三角形 D.钝角三角形

【解析】 ∵sin Acos B<0,A、B为△ABC内角,

∴sin A>0,cos B<0.

因此π2<B<π,则△ABC为钝角三角形.

【答案】 D

8.若实数x满足log2x=3+2cos θ,则|x-2|+|x-33|等于( )

A.35-2x B.31

C.2x-35 D.2x-35或35-2x

【解析】 ∵-2≤2cos θ≤2,

∴1≤3+2cos θ≤5,

即1≤log2x≤5,

∴2≤x≤32

∴|x-2|+|x-33|=x-2+33-x=31.

【答案】 B

9.已知△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→=0.若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→成立,则m=( )

A.2 B.3

C.4 D.5

【解析】 ∵MA→+MB→+MC→=0.

∴M为△ABC的重心.

连接AM并延长交BC于D,则D为BC的中点.

∴AM→=23AD→.

又AD→=12(AB→+AC→),

∴AM→=13(AB→+AC→),即AB→+AC→=3AM→,比较得m=3.

【答案】 B

10.(2013•山东高考)函数y=xcos x+sin x的图象大致为( )

【解析】 当x=π2时,y=1>0,排除C.

当x=-π2时,y=-1,排除B;或利用y=xcos x+sin x为奇函数,图象关于原点对称,排除B.

当x=π时,y=-π<0,排除A.故选D.

【答案】 D

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,将答案填在题中的横线上)

11.若tan α=3,则sin 2αcos2α的值等于________.

【解析】 sin 2αcos2α=2sin αcos αcos2α=2tan α=2×3=6.

【答案】 6

12.(2012•江西高考)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|=________.

【解析】 设单位向量m=(x,y),则x2+y2=1,若m⊥b,则m•b=0,即2x-y=0,解得x2=15,所以|x|=55,|x+2y|=5|x|=5.

【答案】 5

13.要得到函数y=3cos(2x-π2)的图像,可以将函数y=3sin(2x-π4)的图像沿x轴向____平移____个单位.

【解析】 y=3sin(2x-π4)――→向左平移π8y=3sin 2x=3cos(2x-π2).

【答案】 左 π8

14.已知向量OA→=(k,12),OB→=(4,5),OC→=(10,k),若A、B、C三点共线,则实数k=________.

【解析】 AB→=(4-k,-7),BC→=(6,k-5),

∵A,B,C三点共线,∴AB→∥BC→,

∴(4-k)(k-5)-(-7)×6=0,

即k=-2或11.

【答案】 -2或11

图1

15.如右图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的:若OP→=xe1+ye2(其中e1,e2分别为与x轴,y轴方向相同的单位向量),则P点的斜坐标为(x,y).若P点的斜坐标为(3,-4),则点P到原点O的距离|PO|=________.

【解析】 由点的斜坐标的定义可知OP→=3e1-4e2,

∵OP→2=9e21-24e1•e2+16e22

=9|e1|2-24|e1||e2|×cos 60°+16|e2|2

=9-24×12+16=13.

∴|OP→|2=13,即|OP→|=13.

故点P到原点O的距离|PO|=13.

【答案】 13

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分12分)(1)已知|a|=4,|b|=3,且(a+2b)•(a-3b)=0,求a•b;

(2)已知a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2.如果a+kb与5a+b互相垂直,求实数k的值.

【解】 (1)∵(a+2b)•(a-3b)

=a2-a•b-6b2

=|a|2-a•b-6|b|2

=16-a•b-54=0,

∴a•b=-38.

(2)由题意a•b=|a|•|b|•cos 120°

=4×2×(-12)=-4.

∵(a+kb)⊥(5a+b),

∴(a+kb)•(5a+b)=0,

即5a2+(5k+1)a•b+kb2=0,

∴5|a|2+(5k+1)•(-4)+k•|b|2=0.

∴5×16-(20k+4)+4k=0,∴k=194.

17.(本小题满分12分)已知平面直角坐标系内的Rt△ABC,∠A=90°,A(-2,-1),C(2,5),向量BC→上的单位向量a=(513,-1213),P在CB上,且CP→=λCB→.

(1)求点B坐标;

(2)当AP分别为三角形的中线、高线时,求λ的值及对应中点、垂足的坐标.

【解】 (1)设B(x,y),CB→=(x-2,y-5).

又CB→=λa,

∴(x-2,y-5)=λ(513,-1213).故x=2+513λ,y=5-1213λ,

∴B(2+513λ,5-1213λ).

AB→=(4+513λ,6-1213λ),AC→=(4,6).

由AB→•AC→=(4+513λ,6-1213λ)•(4,6)=0,得λ=13.

故点B(7,-7).

(2)若P是BC的中点,则CP→=12CB→,

∴λ=12,此时,点P的坐标为(2+72,5-72),即(92,-1).

若AP是BC边的高,则AP→⊥CB→.

∴(AC→+CP→)•CB→=0,

即AC→•CB→+λCB→•CB→=0.

又CB→=(5,-12),

代入上式有(4,6)•(5,-12)+λ(5,-12)•(5,-12)=0.

解之,得λ=413.

设此时点P(m,n).

∵CP→=λCB→,即CP→=413CB→,

∴(m-2,n-5)=413(5,-12).

∴m-2=413×5,n-5=413×-12,

即m=4613,n=1713.

∴P(4613,1713).

图2

18.(本小题满分12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为π3的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.

【解】 在直角三角形OBC中,OB=cos α,BC=sin α,

在直角三角形OAD中,DAOA=tan 60°=3,

所以OA=33DA=33sin α,

AB=OB-OA=cos α-33sin α.

设矩形ABCD的面积为S,则

S=AB•BC=(cos α-33sin α)sin α

=sin αcos α-33sin2α

=12sin 2α-36(1-cos 2α)

=12sin 2α+36cos 2α-36

=13(32sin 2α+12cos 2α)-36

=13sin(2α+π6)-36.

因为0<α<π3,

所以当2α+π6=π2,

即α=π6时,S最大=13-36=36.

因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.

19.(本小题满分13分)(2012•湖南高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示.

图3

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数g(x)=f(x-π12)-f(x+π12)的单调递增区间.

【解】 (1)由题设图像知,周期T=2(11π12-5π12)=π,

所以ω=2πT=2.

因为点(5π12,0)在函数图像上,所以Asin(2×5π12+φ)=0,

即sin(5π6+φ)=0.

又因为0<φ<π2,

所以5π6<5π6+φ<4π3.

从而5π6+φ=π,即φ=π6.

又点(0,1)在函数图像上,所以Asin π6=1,解得A=2.

故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6).

(2)g(x)=2sin[2(x-π12)+π6]-2sin[2(x+π12)+π6]

=2sin 2x-2sin(2x+π3)=2sin 2x-2(12sin 2x+32cos 2x)=sin 2x-3cos 2x=2sin(2x-π3).

由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.

所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z.

20.(本小题满分12分)(2013•湖南高考)已知函数f(x)=cos x•cosx-π3.

(1)求f2π3的值;

(2)求使f(x)<14成立的x的取值集合.

【解】 (1)f2π3=cos2π3•cosπ3

=-cosπ3•cosπ3

=-122=-14.

(2)f(x)=cos xcosx-π3

=cos x•12cos x+32sin x

=12cos2 x+32sin xcos x

=14(1+cos 2x)+34sin 2x

=12cos2x-π3+14.

f(x)<14等价于12cos2x-π3+14<14,

即cos2x-π3<0.

于是2kπ+π2<2x-π3<2kπ+3π2,k∈Z.解得kπ+5π12<x<kπ+11π12,k∈Z.

故使f(x)<14成立的x的取值集合为

{x|kπ+5π12<x<kπ+11π12,k∈Z}.

21.(本小题满分13分)(2012•北京高考)已知函数f(x)=sin x-cos xsin 2xsin x.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期;

(2)求f(x)的单调递增区间.

【解】 (1)由sin x≠0得x≠kx(k∈Z),

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.

因为f(x)=sin x-cos xsin 2xsin x

=2cos x(sin x-cos x)

=sin 2x-cos 2x-1

=2sin(2x-π4)-1,

所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.

(2)函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z).

由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,x≠kπ(k∈Z),

得kπ-π8≤x≤kx+3π8,x≠kx(k∈Z).

所以f(x)的单调递增区间为[kπ-π8,kπ)和(kπ,kπ+3π8](k∈Z).

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