九年级数学上册期末检测题

同学们要对学过的数学知识一定要多加练习，这样才能进步。 下面是小编为大家带来的关于九年级数学上册期末检测题，希望会给大家带来帮助。

九年级数学上册期末检测题：

一、选择题(本题共30分，每小题3分)

1.⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点( )

A.在⊙O内或⊙O上 B.在⊙O外 C.在⊙O上 D.在⊙O外或⊙O上

【考点】点与圆的位置关系.

【分析】根据点与圆的位置关系进行判断.

【解答】解：∵d≥R，

∴点P在⊙O上或点P在⊙O外.

故选D.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d

2.把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长( ≈2.236，精确到0.01)是( )

A.3.09cm B.3.82cm C.6.18cm D.7.00cm

【考点】黄金分割.

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( )叫做黄金比.

【解答】解：根据题意得：

较长线段的长是10× =10×0.618=6.18cm.

故选C.

【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ，较长的线段=原线段的 是本题的关键.

3.在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则AE：EC的值为( )

A.0.5 B.2 C. D.

【考点】平行线分线段成比例.

【专题】几何形问题.

【分析】首先由DE∥BC可以得到AD：DB=AE：EC，而AD=4，DB=2，由此即可求出AE：EC的值.

【解答】解：∵DE∥BC，

∴AD：DB=AE：EC，

而AD=4，DB=2，

∴AE：EC=AD：DB=4：2=2.

故选B.

【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案.

4.反比例函数y= 的象如所示，则k的值可能是( )

A. B.1 C.2 D.﹣1

【考点】反比例函数象上点的坐标特征.

【分析】根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断.

【解答】解：∵反比例函数在第一象限，

∴k>0，

∵当象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，

∴k<1，

故选A.

【点评】本题考查的是反比例函数象上点的坐标特点，用到的知识点为：反比例函数象在第一象限，比例系数大于0;比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积.

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为( )

A.sinA B.cosA C. D.

【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案.

【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，得

sinA= .

AB= = ，

故选：D.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

6.正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )

A.30° B.60° C.90° D.45°

【考点】圆周角定理;等边三角形的性质.

【专题】压轴题;动点型.

【分析】由等边三角形的性质知，∠A=60°，即弧BC的度数为60°，可求∠BPC=60°.

【解答】解：∵△ABC正三角形，

∴∠A=60°，

∴∠BPC=60°.

故选B.

【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.和等边三角形的性质求解.

7.抛物线y= x2的象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为( )

A.y= x2+2x+1 B.y= x2+2x﹣2 C.y= x2﹣2x﹣1 D.y= x2﹣2x+1

【考点】二次函数象与几何变换.

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，

二次函数y= x2的象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的象表达式为

y= (x+2)2﹣1，

即y= x2+2x+1.

故选A.

【点评】本题考查的是二次函数的象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键.

8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的象如所示，有下列5个结论：

①abc>0;②b0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).

其中正确的结论有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

【考点】二次函数象与系数的关系.

【专题】压轴题;数形结合.

【分析】观察象：开口向下得到a<0;对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b>0;抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c>0，所以abc<0;当x=﹣1时象在x轴下方得到y=a﹣b+c=0，即a+c=b;对称轴为直线x=1，可得x=2时象在x轴上方，则y=4a+2b+c>0;利用对称轴x=﹣ =1得到a=﹣ b，而a﹣b+c<0，则﹣ b﹣b+c<0，所以2c<3b;开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c>am2+bm+c，即a+b>m(am+b)(m≠1).

【解答】解：开口向下，a<0;对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b>0;抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c>0，则abc<0，所以①不正确;

当x=﹣1时象在x轴下方，则y=a﹣b+c=0，即a+c=b，所以②不正确;

对称轴为直线x=1，则x=2时象在x轴上方，则y=4a+2b+c>0，所以③正确;

x=﹣ =1，则a=﹣ b，而a﹣b+c=0，则﹣ b﹣b+c=0，2c=3b，所以④不正确;

开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c;当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c，则a+b+c>am2+bm+c，即a+b>m(am+b)(m≠1)，所以⑤正确.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的象，当a>0，开口向上，函数有最小值，a<0，开口向下，函数有最大值;对称轴为直线x=﹣ ，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧;当c>0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方;当△=b2﹣4ac>0，抛物线与x轴有两个交点.

9.如所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°;②CE2=AB•CF;③CF=FD;④△ABE∽△AEF.其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质.

【分析】由正方形的性质和三角函数得出∠BAE<30°，①不正确;由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，得出②正确，CF= FD，③不正确;进而又可得出△ABE∽△AEF，得出④正确，即可得出题中结论.

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CAD，∠B=∠C=∠D=90°，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE= BC= AB，

∵AE>AB，

∴sin∠BAE= < ，

∴∠BAE<30°，①不正确;

∵AE⊥EF，∴∠BAE=∠CEF，

∴△CEF∽△BAE，

∴ = = ，

∴CE•BE=AB•CF，CF= BE= CD，

∵BE=CE，CF= FD，

∴CE2=AB•CF，②正确，③不正确;

由△CEF∽△BAE可得 ，

∴∠EAF=∠BAE的正切值相同，

∴∠EAF=∠BAE，

又∠B=∠C=90°.

∴△ABE∽△AEF，

∴④正确;

正确的有2个，

故选：B.

【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、三角函数;熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键.

10.如所示，已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F(EF不过A、B)，设E到BC的距离为x.则△DEF的面积y关于x的函数的象大致为( )

A. B. C. D.

【考点】函数的象;相似三角形的判定与性质.

【专题】压轴题.

【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案.

【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知： ，

即EF=2(4﹣x)

所以y= ×2(4﹣x)x=﹣x2+4x.

故选D.

【点评】考查根据几何形的性质确定函数的象和函数象的读能力.要能根据几何形和形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的象.

二、填空题(本题共18分，每小题3分)

11.若 ，则 = .

【考点】比例的性质.

【专题】计算题.

【分析】根据已知条件，可得出a和b的值，代入原式即可得出结果.

【解答】解：根据题意，得a= ，b= ，

则 = = ，故填 .

【点评】考查了比例的基本性质及其灵活运用.

12.两个相似多边形相似比为1：2，且它们的周长和为90，则这两个相似多边形的周长分别是30，60.

【考点】相似多边形的性质.

【分析】根据相似多边形的周长之比等于相似比，求出两个多边形的周长比，根据题意列出方程，解方程即可.

【解答】解：∵两个相似多边形相似比为1：2，

∴两个相似多边形周长比为1：2，

设较小的多边形的周长为x，则较大的多边形的周长为x，

由题意得，x+2x=90，

解得，x=30，

则2x=60，

故答案为：30;60.

【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长之比等于相似比是解题的关键.

13.已知扇形的面积为15πcm2，半径长为5cm，则扇形周长为6π+10cm.

【考点】扇形面积的计算.

【分析】根据扇形的面积公式求出扇形弧长，根据扇形周长公式计算即可.

【解答】解：由扇形的面积公式S= lr，得，

l= =6πcm，

则扇形周长=(6π+10)cm，

故答案为：6π+10.

【点评】本题考查的是扇形的面积的计算，掌握S扇形= lR(其中l为扇形的弧长)是解题的关键.

14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是相交.

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d

【解答】解：以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是相交;理由如下：

过C作CD⊥AB于D，如所示：

∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，

∴由勾股定理得：AB= =5，

∵△ABC的面积= AC×BC= AB×CD，

∴3×4=5CD，

∴CD=2.4<2.5，

即d

∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交，

故答案为：相交.

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直线和圆的位置关系的应用;解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交.

15.请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的象同时满足下列条件：①开口向下;②当x<2时，y随x的增大而增大;当x>2时，y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是y=﹣x2+4x.

【考点】待定系数法求二次函数解析式.

【专题】压轴题;开放型.

【分析】根据①的条件可知：a<0;根据②的条件可知：抛物线的对称轴为x=2;满足上述条件的二次函数解析式均可.

【解答】解：由①知：a<0;

由②知：抛物线的对称轴为x=2;

可设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+h(a<0);

当a=﹣1，h=4时，抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+4=﹣x2+4x.(答案不唯一)

【点评】本题是一个开放性题目，主要考查二次函数的性质及解析式的求法.本题比较灵活，培养学生灵活运用知识的能力.

16.正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB 上，点B、E在函数 (x>0)的象上，若阴影部分的面积为12﹣ ，则点E的坐标是( +1， ﹣1).

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【专题】计算题.

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S正方形OABC=S正方形ODEG=4，则S矩形BCGF=S正方形ADEF，所以S正方形ADEF=6﹣2 ，利用正方形的性质可计算出正方形的边长AD=DE= = ﹣1，则E点的纵坐标为 ﹣1，然后利用反比例函数象上点的坐标特征可确定E点坐标.

【解答】解：∵四边形OABC，ADEF为正方形，

∴S正方形OABC=S正方形ODEG=4，

∴S矩形BCGF=S正方形ADEF，

而阴影部分的面积为12﹣ ，

∴S正方形ADEF=6﹣2 ，

∴AD=DE= = ﹣1，

当y= ﹣1时，x= = +1，

∴E点坐标为( +1， ﹣1).

故答案为( +1， ﹣1).

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y= 象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)

17.计算： .

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】分别把sin30°= ，cos45°= ，tan60°= 代入计算即可.

【解答】解：原式=4× ﹣ × +

=2﹣1+3

=4.

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式等考点的运算.

18.如：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，∠B=60°，解直角三角形.

【考点】解直角三角形.

【分析】根据三角形的内角和求出∠A，再根据正弦定理求出AB，最后根据勾股定理即可求出AC.

【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，

∴∠A=30°，

∴sinA= = = ，

∴AB=16，

∴AC= = =8 .

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.解直角三角形要用到的关系：锐角直角的关系：∠A+∠B=90°;三边之间的关系：a2+b2=c2;边角之间的关系：锐角三角函数关系.

19.已知反比例函数 象的两个分支分别位于第一、第三象限.

(1)求k的取值范围;

(2)取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x=﹣6时反比例函数y的值.

【考点】反比例函数的性质.

【分析】(1)由反比例函数象过第一、三象限，得到反比例系数k﹣1大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围;

(2)根据k的取值范围取k=2，得到y= ，代入x=﹣6，求得即可.

【解答】解：(1)∵反比例函数象两支分别位于第一、三象限，

∴k﹣1>0，

解得：k>1;

(2)∵k>1，

∴取k=2，在反比例函数的表达式为y= ，

把x=﹣6代入得，y= =﹣ .

【点评】此题考查了反比例函数的性质.反比例函数y= (k≠0)，当k>0时函数象位于第一、三象限;当k<0时，函数象位于第二、四象限.

20.已知圆内接正三角形的边心距为2cm，求它的边长.

【考点】正多边形和圆.

【分析】作辅助线;求出∠AOC=60°，借助直角三角形的边角关系求出AC的长，即可解决问题.

【解答】解：连接OA、OB;

∵AB为⊙O的内接正三角形的一边，OC⊥AB于点C;

∴∠AOB= =120°;

∵OA=OB，

∴∠AOC= ∠AOB=60°，AC=BC;

∵tan60°= ，而OC=2，

∴AC=2 ，AB=4 (cm).

【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题;解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答.

21.已知：D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3.

【考点】相似三角形的性质.

【分析】由相似三角形的性质易证∠1=∠2，再由三角形内角和定理易证∠2=∠3，进而可证明∠1=∠2=∠3.

【解答】证明：∵△ABC∽△ADE，

∴∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

即∠1=∠2，

在△AOE和△DOC中，

∠E=∠C，∠AOE=∠DOC(对顶角相等)，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2=∠3.

【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的各种性质是解题关键.

22.A、B两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护区中心P点既在A城市的北偏东30°的方向上，又在B城市的南偏东45°的方向上.已知森林保护区的范围是以P为圆心，35千米为半径的圆形区域内.请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区?请通过计算说明.(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

【分析】过点P作PC⊥AB，C是垂足.AC与BC就都可以根据三角函数用PC表示出来.根据AB的长，得到一个关于PC的方程，解出PC的长.从而判断出这条高速公路会不会穿越森林保护区.

【解答】解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠A=30°，∠B=45°，

AC= = PC，BC= =PC.

∵AC+BC=AB，

∴ PC+PC=100，

∴PC=50( ﹣1)≈50×(1.732﹣1)=36.6>35.

答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.

23.AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC.

(1)请写出两个不同的正确结论;

(2)若CB=8，ED=2，求⊙O的半径.

【考点】垂径定理;勾股定理.

【分析】(1)根据直角所对的圆周角是直角、垂径定理写出结论;

(2)根据勾股定理求出DE的长，设⊙O的半径为R，根据勾股定理列出关于R的方程，解方程得到答案.

【解答】解：(1)∵AB是⊙O的直径，

∴∠C=90°，

∵OD⊥CB，

∴CE=BE， = ，

则三个不同类型的正确结论：∠C=90°;CE=BE; = ;

(2)∵OD⊥CB，

∴CE=BE= BC=4，又DE=2，

∴OE2=OB2﹣BE2，

设⊙O的半径为R，则OE=R﹣2，

∴R2=(R﹣2)2+42，

解得R=5.

答：⊙O的半径为5.

【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.

24.密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如.拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.

【考点】二次函数的应用;二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式.

【分析】因为拱门是抛物线形的建筑物，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题.

【解答】解：如所示建立平面直角坐标系，

此时，抛物线与x轴的交点为C(﹣100，0)，D(100，0)，

设这条抛物线的解析式为y=a(x﹣100)(x+100)，

∵抛物线经过点B(50，150)，

可得 150=a(50﹣100)(50+100).

解得 ，

∴ .

即 抛物线的解析式为 ，

顶点坐标是(0，200)

∴拱门的最大高度为200米.

【点评】本题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，数形结合，很基础的二次函数问题.

25.⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB.求证：DE是⊙O的切线.

【考点】切线的判定;平行线的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的性质.

【专题】证明题.

【分析】连接0C，根据等腰三角形的性质和角平分线性质求出∠EAC=∠ACO，推出OC∥AE，推出OC⊥ED即可.

【解答】证明：连接0C，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠EAB，

∴∠EAC=∠OAC，

则∠OCA=∠EAC，

∴OC∥AE，

∵AE⊥DE，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切线.

【点评】本题主要考查对平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，切线的判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能推出OC⊥ED是解此题的关键.

26.已知：抛物线y=x2+bx+c经过点(2，﹣3)和(4，5).

(1)求抛物线的表达式及顶点坐标;

(2)将抛物线沿x轴翻折，得到象G，求象G的表达式;

(3)在(2)的条件下，当﹣2

【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质;二次函数象上点的坐标特征;二次函数象与几何变换.

【分析】(1)直接把A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式;利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶点坐标.

(2)根据关于x轴对称的两点x坐标相同，y坐标互为相反数，即可求得象G的表达式;

(3)求得抛物线的顶点坐标和x=﹣2时的函数值，结合象即可求得m的值.

【解答】解：(1)根据题意得 ，

解得 ，

所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.

∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，

∴抛物线的顶点坐标为(1，﹣4).

(2)根据题意，﹣y=x2﹣2x﹣3，所以y=﹣x2+2x+3.

(3)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为(1，﹣4)，当x=﹣2时，y=5，抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点(1，4)，当x=﹣2时，y=﹣5.

∴当﹣2

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数象上点的坐标特征以及翻折的性质，(3)结合象是解题的关键.

27.已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：

(1)经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ?

(2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在，求t的值;若不存在，请说明理由.

【考点】相似三角形的判定;一元二次方程的应用;分式方程的应用;矩形的性质.

【专题】压轴题;动点型.

【分析】(1)关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 作为相等关系;

(2)先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在.

【解答】解：(1)设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ，

则有： (6﹣2x)x= ×3×6，即x2﹣3x+2=0，

解方程，得x1=1，x2=2，

经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，

所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 .

(2)假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，

由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，

因此有 或

即 ①，或 ②

解①，得t= ;解②，得t=

经检验，t= 或t= 都符合题意，

所以动点M，N同时出发后，经过 秒或 秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似.

【点评】主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程.要掌握矩形和相似三角形的性质，才会灵活的运用.注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可.

28.(1)探究新知：如1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.

(2)结论应用：

①如2，点M，N在反比例函数y= (k>0)的象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF;

②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如3所示，请判断MN与EF是否平行.

【考点】反比例函数综合题.

【专题】综合题;压轴题.

【分析】(1)分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，根据CG∥DH，得到△ABC与△ABD同底，而两个三角形的面积相等，因而CG=DH，可以证明四边形CGHD为平行四边形，∴AB∥CD.

(2)判断MN与EF是否平行，根据(1)中的结论转化为证明S△EFM=S△EFN即可.

【解答】解：(1)分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，

∴CG∥DH

∵△ABC与△ABD的面积相等

∴CG=DH

∴四边形CGHD为平行四边形

∴AB∥CD.

(2)①证明：连接MF，NE，

设点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，

∵点M，N在反比例函数 (k>0)的象上，

∴x1y1=k，x2y2=k，

∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，

∴OE=y1，OF=x2，

∴S△EFM= x1•y1= k，

S△EFN= x2•y2= k，

∴S△EFM=S△EFN;

∴由(1)中的结论可知：MN∥EF.

②由(1)中的结论可知：MN∥EF.

(若生使用其他方法，只要解法正确，皆给分.)

【点评】本题考查了反比例函数与几何性质的综合应用，这是一个阅读理解的问题，正确解决(1)中的证明是解决本题的关键.

29.设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b].对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”.如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3;当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”.

(1)反比例函数y= 是闭区间[1，2016]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;

(2)若二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值;

(3)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的表达式(用含m，n的代数式表示).

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)由k>0可知反比例函数y= 在闭区间[1，2016]上y随x的增大而减小，然后将x=1，x=2016分别代入反比例解析式的解析式，从而可求得y的范围，于是可做出判断;

(2)先求得二次函数的对称轴为x=1，a=1>0，根据二次函数的性质可知y=x2﹣2x﹣k在闭区间[1，2]上y随x的增大而增大，然后将x=1，y=1，x=2，y=2分别代入二次函数的解析式，从而可求得k的值;

(3)当k>0时，将(m，m)、(n，n)代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k=1、b=0，故此函数的表达式为y=x;当k<0时，将(m，n)、(n，m)代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k=﹣1、b=m+n的值，从而可求得函数的表达式.

【解答】解：(1)∵k=2016>0，

∴当1≤x≤2016时，y随x的增大而减小.

∴当x=1时，y=2016;当x=2016时，y=1.

∴1≤y≤2106.

∴反比例函数y= 是闭区间[1，2016]上的“闭函数”.

(2)∵x=﹣ =1，a=1>0，

∴二次函数y=x2﹣2x﹣k在闭区间[1，2]上y随x的增大而增大.

∵二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，

∴当x=1时，y=1;当x=2时，y=2.

将x=1，y=1;x=2，y=2代入得： .

解得：k=﹣2.

∴k的值为﹣2.

(3)∵一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m，n]上的“闭函数”，

∴当k>0时，直线经过点(m，m)、(n，n).

∴ .

解得： .

∴直线的解析式为y=x.

当k<0时，直线经过点(m，n)、(n，m)

∴ .

解得： .

∴直线的解析式为y=﹣x+m+n.

综上所述，当k>0时，直线的解析式为y=x，当k<0，直线的解析式为y=﹣x+m+n.

【点评】本题综合考查了二次函数象的对称性和增减性，一次函数象的性质以及反比例函数象的性质.解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义.解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用.