数学定义域和值域求解

2017-06-01

数学定义域和值域

(一)求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示;

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等;

4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解，应先由y=f(u)求出u的范围，即g(x)的范围，再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域;

5、分段函数的定义域是各个区间的并集;

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明;

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域;

(二)求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示;

2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集;若C=B，那么该函数作为映射我们称为“满射”;

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集; 6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：

(1)分母不为零

(2)偶次根式的被开方数非负。

(3)对数中的真数部分大于0。

(4)指数、对数的底数大于0，且不等于1

(5)y=tanx中x≠kπ+π/2;y=cotx中x≠kπ等等。

( 6 )0x中x0

二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。

常用的求值域的方法：

(1)直接法

(2)图象法(数形结合)

(3)函数单调性法

(4)配方法

(5)换元法 (包括三角换元)

(6)反函数法(逆求法)

(7)分离常数法

(8)判别式法

(9)复合函数法

(10)不等式法

(11)平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。