高一年级必修2数学课后习题

2016-12-24

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高一年级必修2数学课后习题

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

1.直线x=tan60°的倾斜角是________.

2.给出下列四个命题:

①垂直于同一直线的两条直线互相平行;

②垂直于同一平面的两个平面互相平行;

③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行;

④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.

其中假命题有________个.

3.方程y=ax+1a表示的直线可能是________.(填序号)

4.已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,AC=2r,则球的体积与三棱锥体积之比是________.

5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.

6.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是____________.

7.经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是____________.

8.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则a的值为__________.

9.直线3x+y-23=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是____________.

10.在平面直角坐标系中,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有________条.

11.已知点A(-2,3,4),在y轴上有一点B,且AB=35,则点B的坐标为________.

12.圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称,则k=________.

13.如图,某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积为________.

14.已知圆C:x2+y2-4x-6y+8=0,若圆C和坐标轴的交点间的线段恰为圆C′直径,则圆C′的标准方程为___________.

二、解答题(本大题共6小题,共90分)

15.(14分)已知△ABC三边所在直线方程为AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,CA:2x+y-2=0.求AC边上的高所在的直线方程.

16.(14分)求经过点P(6,-4)且被定圆O:x2+y2=20截得的弦长为62的直线AB的方程.

17.(14分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,E为侧棱PC的中点,求证PA∥平面EDB.

18.(16分)如图所示,在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.

(1)求证D1C⊥AC1;

(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由.

19.(16分)已知M与两定点O(0,0)、A(3,0)的距离之比为12.

(1)求M点的轨迹方程;

(2)若M的轨迹为曲线C,求C关于直线2x+y-4=0对称的曲线C′的方程.

20.(16分)如图,在五面体ABC-DEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=22,∠BAD=∠CDA=45°.

(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;

(2)证明CD⊥平面ABF;

(3)求二面角B-EF-A的正切值.

高一年级必修2数学课后习题答案

1.90°

2.4

解析 ①忽视两直线可以相交,②可以相交、平行,③l1、l2可以异面、相交,④与l1、l2都相交的两直线可以相交.

3.②

解析 注意到直线的斜率a与在y轴上的截距1a同号,故②正确.

4.4π

解析

∵SO⊥底面ABC,

∴SO为三棱锥的高线,

∴SO=r,又∵O在AB上,AB=2r,AC=2r,∠ACB=90°

∴BC=2r,

∴VS-ABC=13×12×2r×2r×r=13r3.

又∵球的体积V=43πr3,∴VVS-ABC=43πr313r3=4π.

5.π3

解析 连结A1B,BC1,A1C1,

∵E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,

∴EF∥12A1B,GH∥12BC1,

∴∠A1BC1即为异面直线EF与GH所成的角.

又∵ABCD—A1B1C1D1是正方体

∴A1B=BC1=A1C1,

∴∠A1BC1=60°.

6.x+2y-3=0

解析 直线x-2y+1=0与x=1的交点为A(1,1),点(-1,0)关于x=1的对称点为B(3,0)也在所求直线上,∴所求直线方程为y-1=-12(x-1),即x+2y-3=0.

7.x+y=2或x=y

解析 截距相等问题关键不要忽略过原点的情况.

8.2或0

解析 圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,

则圆心为(1,2).

由点到直线的距离公式得d=|1-2+a|2=22,

解得a=2或0.

9.60°

解析 可先求出圆心到直线的距离d=3,由于半径为2,设圆心角为θ,则知cosθ2=32,∴θ=60°.

10.2

解析 满足要求的直线应为圆心分别为A、B,半径为1和2的两圆的公切线,而圆A与圆B相交,所以公切线有两条.

11.(0,8,0)或(0,-2,0)

12.2

解析 由已知可知PQ的垂直平分线为

kx-y+4=0,

∴直线kx-y+4=0过圆心-12,3,

∴-12k+1=0,k=2.

13.36π

解析 由三视图可知,该几何体是半个圆锥,底面半径为1,高为3,故体积为16π×12×3=36π.

14.x2+(y-3)2=1

解析 圆C:x2+y2-4x-6y+8=0与x轴没有交点,只与y轴相交,取x=0,得

y2-6y+8=0解得两交点分别为(0,2)和(0,4),由此得圆C′的圆心坐标为(0,3),半径为1,所以标准方程为x2+(y-3)2=1.

15.解 由3x+4y+12=04x-3y+16=0,

解得交点B(-4,0),

∵BD⊥AC,∴kBD=-1kAC=12,

∴AC边上的高线BD的方程为

y=12(x+4),即x-2y+4=0.

16.解 由题意知,直线AB的斜率存在,

且AB=62,OA=25,作OC⊥AB于C.

在Rt△OAC中,OC=20-(32)2=2.

设所求直线的斜率为k, 则直线的方程为y+4=k(x-6), 即kx-y-6k-4=0.

∵圆心到直线的距离为2,

∴|6k+4|1+k2=2,即17k2+24k+7=0,

∴k=-1或k=-717.

故所求直线的方程为x+y-2=0或7x+17y+26=0.

17.证明 如图所示,连结AC,BD,交于点O,连结EO,因为四边形ABCD为正方形,

所以O为AC的中点,又E为PC的中点,所以OE为△PAC的中位线,所以EO∥PA,又EO⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.

18.(1)证明

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连结C1D,

∵DC=DD1,

∴四边形DCC1D1是正方形,

∴DC1⊥D1C.

又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,

∴AD⊥平面DCC1D1,D1C⊂平面DCC1D1,

∴AD⊥D1C.

∵AD,DC1⊂平面ADC1,且AD∩DC1=D,

∴D1C⊥平面ADC1,

又AC1⊂平面ADC1,

∴D1C⊥AC1.

(2)解

在DC上取一点E,连结AD1,AE,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连结MN,

∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,要使D1E∥平面A1BD,须使MN∥D1E,

又M是AD1的中点.

∴N是AE的中点.

又易知△ABN≌△EDN,

∴AB=DE. 即E是DC的中点.

综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E∥平面A1BD.

19.解 (1)设M坐标为(x,y),由题意得x2+y2(x-3)2+y2=12,整理得(x+1)2+y2=4.

所以M点的轨迹方程为(x+1)2+y2=4.

(2)因为曲线C:(x+1)2+y2=4,

所以C关于直线2x+y-4=0对称的曲线C′是与C半径相同的圆,故只需求C′的圆心坐标即可,设C′的圆心坐标(x0,y0).

由题意得y0x0+1=122•x0-12+y02-4=0, 解得x0=195y0=125.

故曲线C′的方程为x-1952+y-1252=4.

20.(1)解 因为四边形ADEF是正方形,

所以FA∥ED. 所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角.

因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD.

故ED⊥CD.

在Rt△CDE中,CD=1,ED=22,

CE=CD2+ED2=3,

所以cos∠CED=EDCE=223.

所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为223.

(2)证明 如图,过点B作BG∥CD,交AD于点G,则∠BGA=∠CDA=45°.由∠BAD=45°,可得BG⊥AB,从而CD⊥AB.

又CD⊥FA,FA∩AB=A,所以CD⊥平面ABF.

(3)解 由(2)及已知,可得AG=2,即G为AD的中点.

取EF的中点N,连结GN,则GN⊥EF. 因为BC∥AD,所以BC∥EF. 过点N作NM⊥EF,交BC于点M, 则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角.

连结GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM,从而BC⊥GM.

由已知,可得GM=22.由NG∥FA,FA⊥GM,得NG⊥GM.

在Rt△NGM中,tan∠GNM=GMNG=14. 所以二面角B-EF-A的正切值为14.

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