求解不可微函数优化的一种混合遗传算法
3 算例###
T 
[-500,500]
图1 函数f(x)特性示意图
函数f(x)有相当多的极小点,全局极小点是 
=-420.97， 
=1,2,…, 
，最优值为-837.97；次最优点为 
={( 
, 
,…, 
)： 
=-420.97, 
, 
=302.52}， 
=1,2,…, 
，次优值-719.53。变量个数n=2时函数f(x) 特性如图1示。程序编制和运行环境采用Fortran Power Station 4.0，随机数由内部随机函数产生，在奔腾133微机上运行。
采用改进的Powell方法计算100次，初值在区间[-500,500]内随机产生，只有6次（即以概率0.06）搜索到全局最优，计算成功的概率极低。
Holland建立的标准（或简单）遗传算法，其特点是二进制编码、赌轮选择方法、随机配对、一点交叉、群体内允许有相同的个体存在。取种群规模m=30，交叉概率pc=0.95、变异概率pm=0.05，最大进化代数T=1000，每个变量用串长为L=16的二进制子串表示。二进制编码比浮点编码遗传算法计算精度低，对于标准遗传算法以目标函数小于-800为搜索成功，标准遗传算法运行100次。当取最大进化代数为T=200时，40次（以概率0.40）搜索到全局最优，平均计算时间为0.51秒；当取T=500时，51次（以概率0.51）搜索到全局最优，平均计算时间为1.13秒。
采用本文混合法计算，取m=30， pc=0.85、pm=0.2，T=100，进行Powell搜索的概率pPowell取不同值，混合法运行100次，计算结果见如表1。对于这个具有多极值的算例，多次计算表明pPowell=0.3时，混合法能以完全概率搜索到全局最优的准确值，但是此时混合法计算时间约为标准遗传算法取T=500时计算时间的4/5。对应的浮点编码遗传算法，取m=30，pc=0.85、pm=0.2，T=100，运行100次，82次（以概率0.82）搜索到全局最优（如表1中PPowell =0所示），计算时间约为标准遗传算法取T=500时计算时间的1/8，但是搜索到全局最优的概率却远远高于标准遗传算法。
表1 pPowell取不同值时混合法的计算结果
PPowell
0.0
0.02
0.05
0.1
0.2
0.3
求得最优解的次数
82
85
89
94
98
100
求得最优解的概率
0.82
0.85
0.89
0.94
0.98
1.00
平均计算时间/ 秒
0.14
0.20
0.31
0.47
0.68
0.87
4 结束语
针对不可微函数的全局优化问题，本文提出一种把Powell方法与浮点编码遗传算法相结合的混合遗传算法，该算法兼顾了遗传算法全局优化方面的优势和Powell方法局部搜索能力较强的特点，提高求得全局解的概率。计算结果表明混合法优于遗传算法和Powell法，可以可靠地搜索到具有多个局部极值的函数优化问题的全局解。由于计算中只用到函数值信息，本文混合法不仅适用于不可微函数优化问题，也适合可微函数全局优化问题。
3 算例###
T [-500,500]
图1 函数f(x)特性示意图
函数f(x)有相当多的极小点,全局极小点是 =-420.97， =1,2,…, ，最优值为-837.97；次最优点为 ={( , ,…, )： =-420.97, , =302.52}， =1,2,…, ，次优值-719.53。变量个数n=2时函数f(x) 特性如图1示。程序编制和运行环境采用Fortran Power Station 4.0，随机数由内部随机函数产生，在奔腾133微机上运行。
采用改进的Powell方法计算100次，初值在区间[-500,500]内随机产生，只有6次（即以概率0.06）搜索到全局最优，计算成功的概率极低。
Holland建立的标准（或简单）遗传算法，其特点是二进制编码、赌轮选择方法、随机配对、一点交叉、群体内允许有相同的个体存在。取种群规模m=30，交叉概率pc=0.95、变异概率pm=0.05，最大进化代数T=1000，每个变量用串长为L=16的二进制子串表示。二进制编码比浮点编码遗传算法计算精度低，对于标准遗传算法以目标函数小于-800为搜索成功，标准遗传算法运行100次。当取最大进化代数为T=200时，40次（以概率0.40）搜索到全局最优，平均计算时间为0.51秒；当取T=500时，51次（以概率0.51）搜索到全局最优，平均计算时间为1.13秒。
采用本文混合法计算，取m=30， pc=0.85、pm=0.2，T=100，进行Powell搜索的概率pPowell取不同值，混合法运行100次，计算结果见如表1。对于这个具有多极值的算例，多次计算表明pPowell=0.3时，混合法能以完全概率搜索到全局最优的准确值，但是此时混合法计算时间约为标准遗传算法取T=500时计算时间的4/5。对应的浮点编码遗传算法，取m=30，pc=0.85、pm=0.2，T=100，运行100次，82次（以概率0.82）搜索到全局最优（如表1中PPowell =0所示），计算时间约为标准遗传算法取T=500时计算时间的1/8，但是搜索到全局最优的概率却远远高于标准遗传算法。
表1 pPowell取不同值时混合法的计算结果
PPowell
0.0
0.02
0.05
0.1
0.2
0.3
求得最优解的次数
82
85
89
94
98
100
求得最优解的概率
0.82
0.85
0.89
0.94
0.98
1.00
平均计算时间/ 秒
0.14
0.20
0.31
0.47
0.68
0.87
4 结束语
针对不可微函数的全局优化问题，本文提出一种把Powell方法与浮点编码遗传算法相结合的混合遗传算法，该算法兼顾了遗传算法全局优化方面的优势和Powell方法局部搜索能力较强的特点，提高求得全局解的概率。计算结果表明混合法优于遗传算法和Powell法，可以可靠地搜索到具有多个局部极值的函数优化问题的全局解。由于计算中只用到函数值信息，本文混合法不仅适用于不可微函数优化问题，也适合可微函数全局优化问题。