什么是等价关系等价关系是什么

2017-03-23

什么是等价关系

等价关系是集合上的一种特殊的二元关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。常用等价关系来划分集合，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

等价关系的定义

设 R 是集合 A 上的一个二元关系，若R满足：

自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

则称 R 是定义在 A 上的一个等价关系。设 R 是一个等价关系，若(a, b) ∈ R，则称 a 等价于 b，记作 a ~ b 。

等价关系的应用

例一：

设A = {1, 4, 7}，定义A上的关系R如下：

R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }

其中a ≡ b mod 3叫做 a 与 b 模 3 同余，即 a 除以 3 的余数与 b 除以 3 的余数相等。不难验证 R 为 A 上的等价关系。

设 f 是从 A 到 B 的一个函数，定义 A 上的关系 R ：aRb，当且仅当f(a) = f(b)，R 是 A 上的等价关系。

例二：

设 R 为定义在集合 A 上的一个关系，若 R 是自反的、对称的和传递的，则称 R 为等价关系。设 R 为集合 A 上的等价关系，对任何a∈A,集合 [a] = {b | (a, b) ∈R} 称为元素 a 形成的等价类，其等价类集合 {[a] | a∈A}，称作A关于R的商集，记作 A/R。定理 3.7.1 设给定非空集合 A 上等价关系 R ，对于 a, b ∈A,有 aRb 当且仅当 [a] = [b]。定理 3.7.2 集合 A 上的等价关系 R ，确定了 A 的一个划分，该划分就是商集 A/R。定理 3.7.3 集合A的一个划分，确定 A 的元素间的一个等价关系。

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