数学归纳法的应用

数学归纳法的应用非常广泛,在实际的教学研究中也得到了很大的重视 接下来小编为你整理了数学归纳法的应用，一起来看看吧。

数学归纳法的原理

数学归纳法是一种研究与自然数有关的证明，它可以巧妙的证明结果含有n的结论。它避免了无穷次的步骤推导引起的逻辑问题，是一种严格的演绎推理，所以它与普通的归纳法有着很大的区别。已知最早的使用数学归纳法的证明出现于F·莫罗利科(Francesco Maurolico)的《算数》(Arithmeticorum libri duo)(1575AD)。莫罗利科利用递推关系巧妙地证明出前n个奇数的总和是n^2，由此总结出了数学归纳法。

数学归纳法最基本格式为：(1)n= n0时，成立。(2)假设n= k时成立，当n=k+1时命题也成立。于是根据(1)(2)可知命题对于任意n成立。举个例子，就像一排多米诺骨牌(这个例子很经典形象)，我们知道第一个被推倒了，我们也知道每一个与之相邻的下一个骨牌要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

如：证1+2+3+„+n=n*(n+1)/2 。按顺序1.当n=1时，显然成立。2.假设n=k时成立，当n=k+1时，S= k*(k+1)/2+(k+1) = (k+2) (k+1)/2. 于是结果成立。

数学归纳法的应用

1. 所有马都一个颜色。(即任意n匹马都只有一个颜色)

证：当只有1匹马，命题成立。假设任意k匹马都只有一个颜色，当n=k+1时，我从中任意挑取k匹马，这k匹马颜色相同;我再用剩下的那只马去换掉这群马中的任意一只，组成新的马群，依然有k匹马，颜色还是相同;根据集合交并原理，可知k+1时也成立。证毕。

原来真的所有马都一种颜色吗?怎么可能!现在，我们来分析一下究竟是哪里出的错。我们可以看到，在第二步，当k=1时，两匹马不能出现交集，不能推出k=2时成立。这个证明链在第二节断掉了，虽然后面是连着的，但却推不出正确结论了。所以这提示我们，即使前面第一步证明了n=1成立，第二步依然要保证n=k对任意所涉及的数也成立，包括1.

2.n人一人一顶帽子，有m顶白帽子，其余都是黑帽子。每次敲钟，都要求所有能判断自己为白帽子的人离开。正在这n个无聊的人苦苦思索的时候，突然来了一个人，说：“这里居然有人带白帽子!”，然后飘走了。黑帽子的人很想说“废话!”，却发现过了一会所有白帽子的人都走了(他们判断出自己的帽子颜色了)，这是怎么回事?

好吧，我们还是用数学归纳法做一做：

命题1：我们假设只有1人白帽子，他发现所有人都戴黑帽子，当飘走的那个人说完话后，他可以立刻知道自己是白的。于是第1声钟响后这1个白帽可确认。

命题2：假设只有2个人白，其中一个人发现有只有1个人白帽，如果命题1成立，即只有他是白帽，他应该钟响1下后立刻离开，可他不走。所以说明命题1不成立，一定有2个白帽——自己和他!于是第2声钟响后这2个白帽可确认。

假设命题k成立，命题n=k+1时，假设只有k+1个白帽，其中一人发现：有k个白帽，如果是命题k，他们在第k声钟响后应该全部离开，可是没走，所以一定自己是白帽子让他们不能判断。于是在第k+1声钟响后，k+1白帽可全部确认离开。结论成立。

所以，那句废话虽然对黑帽子没有，但对白帽子而言是却是归纳法的第一块多米诺骨牌。

3.在《不可思议?》这本书里还有一个更那啥的题，经改编如下：有一个杀人狂把两个人分别关在两个密室，分别告诉他们两个相邻正自然数，两个人虽然知道数字相邻，却不知道对方的数。计时开始后，每分钟他们都有一次机会选择确认按钮，确认的消息可以被双方听见。只有知道另一方数字是多少的人才能出去。快快，生路在哪里?

这看起来好像无解，假如我知道自己的数是27，怎么判断对方究竟是26还是28，难道出去的概率是50%?

不，概率是100%，唯一的生路在那个每分钟一次确认按钮上(且确认消息可通知双方)。当A的数是1，则在第1分钟便可知道B的数是2(因为不是0)。当A的数是2，则有两种情况，B是1或3，如果是1，B在第一分钟会确认，如果B没确认，则B是3。所以假设当A为k时，A会在第k分钟推理出B的数字，则当A=k+1时，如果第k分钟B没有动静，则可以判断B的数不是k，而是k+2，所以在下一分钟即k+1分钟时A推理出数字，结论成立。