高三数学理科三角恒等变形复习测试题(含答案)

考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。下面是小编为大家整理的高三数学理科三角恒等变形复习测试题，请认真复习!

高三数学理科三角恒等变形复习测试题及答案解析

第一节 同角三角函数的基本关系

A组

1.已知sinα=55，sin(α-β)=-1010，α、β均为锐角，则β等于________.

解析：∵α、β均为锐角，∴-π2<α-β<π2，∴cos(α-β)=1-sin2(α-β)=31010.

∵sinα=55，∴cosα= 1-(55)2=255.

∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=22.

∵0<β<π2，∴β=π4.答案：π4

2.已知0<α<π2<β<π，cosα=35，sin(α+β)=-35，则cosβ的值为________.

解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α+β<32π.∴sinα=45，cos(α+β)=-45，

∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-45)×35+(-35)×45=-2425.答案：-2425

3.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，则sin(α+β)cos(α-β)=________.

解析：tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3，则sin(α+β)cos(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ

=tanα+tanβ1+tanαtanβ=31-3=-32.答案：-32

4.已知cos(α-π6)+sinα=453，则sin(α+7π6)的值是___.

解析：由已知得32cosα+12sinα+sinα=453，即12cosα+32sinα=45，

得sin(α+π6)=45，sin(α+76π)=-sin(α+π6)=-45.答案：-45

5.(原创题)定义运算ab=a2-ab-b2，则sinπ12cosπ12=________.

解析：sinπ12cosπ12=sin2π12-sinπ12cosπ12-cos2π12=-(cos2π12-sin2π12)-12×2sinπ12cosπ12=-cosπ6-12sinπ6=-1+234.答案：-1+234

6.已知α∈(π2，π)，且sinα2+cosα2=62.

(1)求cosα的值;(2)若sin(α-β)=-35，β∈(π2，π)，求cosβ的值.

解：(1)因为sinα2+cosα2=62，两边同时平方得sinα=12.

又π2<α<π.所以cosα=-32.

(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以-π<-β<-π2，故-π2<α-β<π2.

又sin(α-β)=-35，得cos(α-β)=45.

cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)

=-32×45+12×(-35)=-43+310.

B组

1.cos2α1+sin2α•1+tanα1-tanα的值为________.

解析：cos2α1+sin2α•1+tanα1-tanα=cos2α-sin2α(sinα+cosα)2•1+tanα1-tanα

=cosα-sinαsinα+cosα•1+tanα1-tanα=1-tanα1+tanα•1+tanα1-tanα=1.

2.已知cos(π4+x)=35，则sin2x-2sin2x1-tanx的值为________.

解析：∵cos(π4+x)=35，∴cosx-sinx=352，

∴1-sin2x=1825，sin2x=725，∴sin2x-2sin2x1-tanx=2sinx(cosx-sinx)cosx-sinxcosx=sin2x=725.

3.已知cos(α+π3)=sin(α-π3)，则tanα=________.

解析：cos(α+π3)=cosαcosπ3-sinαsinπ3=12cosα-32sinα，sin(α-π3)

=sinαcosπ3-cosαsinπ3=12sinα-32cosα，

由已知得：(12+32)sinα=(12+32)cosα，tanα=1.

4.设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α-π4)=35，sin(3π4+β)=513，则sin(α+β)=________.

解析：α∈(π4，3π4)，α-π4∈(0，π2)，又cos(α-π4)=35，∴sin(α-π4)=45.

∵β∈(0，π4)，∴3π4+β∈(3π4，π).∵sin(3π4+β)=513，∴cos(3π4+β)=-1213，

∴sin(α+β)=-cos[(α-π4)+(3π4+β)]

=-cos(α-π4)•cos(3π4+β)+sin(α-π4)•sin(3π4+β)=-35×(-1213)+45×513=5665，

即sin(α+β)=5665.

5.已知cosα=13，cos(α+β)=-13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α-β)的值等于________.

解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π).∵cosα=13，∴cos2α=2cos2α-1=-79，∴sin2α=1-cos22α=429，而α，β∈(0，π2)，∴α+β∈(0，π)，∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223，∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(-79)×(-13)+429×223=2327.

6.已知角α在第一象限，且cosα=35，则1+2cos(2α-π4)sin(α+π2)=________.

解析：∵α在第一象限，且cosα=35，∴sinα=45，则1+2cos(2α-π4)sin(α+π2)=1+2(22cos2α+22sin2α)cosα=2cos2α+2sinαcosαcosα=2(sinα+cosα)=2(45+35)=145.

7.已知a=(cos2α，sinα)，b=(1,2sinα-1)，α∈(π2，π)，若a•b=25，则tan(α+π4)的值为________.

解析：a•b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα=25，∴sinα=35，又α∈(π2，π)，∴cosα=-45，tanα=-34，∴tan(α+π4)=tanα+11-tanα=17.

8.tan10°tan70°tan70°-tan10°+tan120°的值为______.

解析：由tan(70°-10°)=tan70°-tan10°1+tan70°•tan10°=3，

故tan70°-tan10°=3(1+tan70°tan10°)，代入所求代数式得：

tan70°tan10°3(1+tan70°tan10°)+tan120°=tan70°tan10°3(1+tan70°tan10°)-3=tan70°tan10°3tan70°tan10°=33.

9.已知角α的终边经过点A(-1，15)，则sin(α+π4)sin2α+cos2α+1的值等于________.

解析：∵sinα+cosα≠0，cosα=-14，∴sin(α+π4)sin2α+cos2α+1=24cosα=-2.

10.求值：cos20°sin20°•cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°.

解：原式=cos20°cos10°sin20°+3sin10°sin70°cos70°-2cos40°

=cos20°cos10°+3sin10°cos20°sin20°-2cos40°

=cos20°(cos10°+3sin10°)sin20°-2cos40°

=2cos20°(cos10°sin30°+sin10°cos30°)sin20°-2cos40°

=2cos20°sin40°-2sin20°cos40°sin20°=2.

11.已知向量m=(2cosx2，1)，n=(sinx2，1)(x∈R)，设函数f(x)=m•n-1.

(1)求函数f(x)的值域;(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)=513，f(B)=35，求f(C)的值.

解：(1)f(x)=m•n-1=(2cosx2，1)•(sinx2，1)-1=2cosx2sinx2+1-1=sinx.

∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[-1,1].

(2)∵f(A)=513，f(B)=35，∴sinA=513，sinB=35.

∵A，B都为锐角，∴cosA=1-sin2A=1213，cosB=1-sin2B=45.

∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

=513×45+1213×35=5665.∴f(C)的值为5665.

12.已知：0<α<π2<β<π，cos(β-π4)=13，sin(α+β)=45.

(1)求sin2β的值;(2)求cos(α+π4)的值.

解：(1)法一：∵cos(β-π4)=cosπ4cosβ+sinπ4sinβ=22cosβ+22sinβ=13，

∴cosβ+sinβ=23，∴1+sin2β=29，∴sin2β=-79.

法二：sin2β=cos(π2-2β)=2cos2(β-π4)-1=-79.

(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β-π4<3π4，π2<α+β<3π2，∴sin(β-π4)>0，cos(α+β)<0.

∵cos(β-π4)=13，sin(α+β)=45，∴sin(β-π4)=223，cos(α+β)=-35.

∴cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)

=-35×13+45×223=82-315.

第二节 两角和与差及二倍角的三角函数

A组

1.若sinα=35，α∈(-π2，π2)，则cos(α+5π4)=________.

解析：由于α∈(-π2，π2)，sinα=35得cosα=45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α+5π4)=-22(cosα-sinα)=-210.

2.已知π<θ<32π，则 12+12 12+12cosθ=________.

解析：∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π8.

12+12 12+12cosθ= 12+12 cos2θ2

= 12-12cosθ2=sinθ4.

3.计算：cos10°+3sin10°1-cos80°=________.

解析：cos10°+3sin10°1-cos80°=2cos(10°-60°)2sin240°=2cos50°2sin40°=2.

4.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是__________________.

解析：y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1

=2sin(2x+π4)+1≥1-2.

5.函数f(x)=(sin2x+12010sin2x)(cos2x+12010cos2x)的最小值是________.

解析：f(x)=(2010sin4x+1)(2010cos4x+1)20102sin2xcos2x

=20102sin4xcos4x+2010(sin4x+cos4x)+120102sin2xcos2x

=sin2xcos2x+201120102sin2xcos2x-22010≥22010(2011-1).

6.已知角α∈(π4，π2)，且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0.

(1)求tan(α+π4)的值;(2)求cos(π3-2α)的值.

解：∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0，

又α∈(π4，π2)，∴tanα=43，sinα=45，cosα=35，

(1)tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=43+11-43=-7.

(2)cos2α=2cos2α-1=-725，sin2α=2sinαcosα=2425，

cos(π3-2α)=cosπ3cos2α+sinπ3sin2α=12×(-725)+32×2425=243-750.

B组

1.若tan(α+β)=25，tan(β-π4)=14，则tan(α+π4)=_____.

解析：tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=25-141+25×14=322.

2.若3sinα+cosα=0，则1cos2α+sin2α的值为________.

解析：由3sinα+cosα=0得cosα=-3sinα，则1cos2α+sin2α=sin2α+cos2αcos2α+2sinαcosα=9sin2α+sin2α9sin2α-6sin2α=103.

3.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=62，则a、b、c的大小关系是

解析：a=2sin59°，c=2sin60°，b=2sin61°，∴a<c<b.

或a2=1+sin28°<1+12=32，b2=1+sin32°>1+12=32，c2=32，∴a<c<b.

4.2+2cos8+21-sin8的化简结果是________.

解析：原式=4cos24+2(sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4.

5.若tanα+1tanα=103，α∈(π4，π2)，则sin(2α+π4)的值为_________.

解析：由题意知，tanα=3，sin(2α+π4)=22(sin2α+cos2α)，而sin2α=2tanα1+tan2α=35，cos2α=1-tan2α1+tan2α=-45.∴sin(2α+π4)=22(35-45)=-210.

6.若函数f(x)=sin2x-2sin2x•sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________.

解析：f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x=12sin4x，所以T=2π4=π2.

7. 2cos5°-sin25°cos25°的值为________.

解析：由已知得：原式=2cos(30°-25°)-sin25°cos25°=3cos25°cos25°=3.

8.向量a=(cos10°，sin10°)，b=(cos70°，sin70°)，|a-2b|=________________.

解析：|a-2b|2=(cos10°-2cos70°)2+(sin10°-2sin70°)2=5-4cos10°cos70°-4sin10°sin70°=5-4cos60°=3，∴|a-2b|=3.

9.已知1-cos2αsinαcosα=1，tan(β-α)=-13，则tan(β-2α)=________.

解析：因为1-cos2αsinαcosα=1，即1-1-tan2α1+tan2α=12×2tanα1+tan2α，所以2tanα=1，即tanα=12，所以tan(β-2α)=tan(β-α-α)=tan(β-α)-tanα1+tan(β-α)tanα=-13-121-16=-1.

10.已知tanα=2.求(1)tan(α+π4)的值;(2)sin2α+cos2(π-α)1+cos2α的值.

解：(1)∵tan(α+π4)=1+tanα1-tanα，tanα=2，∴tan(α+π4)=1+21-2=-3.

(2)sin2α+cos2(π-α)1+cos2α=2sinαcosα+cos2α2cos2α=2sinα+cosα2cosα=tanα+12=52.

11.如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为(35，45)，记∠COA=α.

(1)求1+sin2α1+cos2α的值;(2)求|BC|2的值.

解：(1)∵A的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sinα=45，cosα=35，∴1+sin2α1+cos2α=1+2sinαcosα2cos2α=4918.

(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60°.∴cos∠COB=cos(α+60°)=cosαcos60°-sinαsin60°.=35×12-45×32=3-4310，

∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|•|OB|cos∠COB=1+1-2×3-4310=7+435.

12.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=sinA+sinBcosA+cosB，sin(B-A)=cosC.(1)求角A，C.(2)若S△ABC=3+3，求a，c.

解：(1)因为tanC=sinA+sinBcosA+cosB，即sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB，

所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，

即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，

得sin(C-A)=sin(B-C)，

所以C-A=B-C，或C-A=π-(B-C)(不成立)，

即2C=A+B，得C=π3，所以B+A=2π3.

又因为sin(B-A)=cosC=12，则B-A=π6或B-A=5π6(舍去)，

得A=π4，B=5π12.故A=π4，C=π3.

(2)S△ABC=12acsinB=6+28ac=3+3，又asinA=csinC，即 a22=c32，

得a=22，c=23.