八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷
只有脚踏实地做八年级数学测试题的人,才能够说:路,就在我的脚下。小编整理了关于八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷,希望对大家有帮助!
八年级数学上册线段、角的轴对称性试试题
一、选择题(共14小题)
1.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线
D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
2.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7 C.5 D.4
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE=1,则BC=( )
A. B.2 C.3 D. +2
4.如图,在边长为 的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为( )
A. B. C. D.1
5.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
6.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是( )
A.2 B. C. D.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,AC=3,BC=4,则CD的长是( )
A.1 B. C. D.2
8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:
①OA=OD;
②AD⊥EF;
③当∠A=90°时,四边形AEDF是正方形;
④AE+DF=AF+DE.
其中正确的是( )
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
9.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于( )
A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,下面四个结论:
①∠AFE=∠AEF;
②AD垂直平分EF;
③ ;
④EF一定平行BC.
其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
12.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是( )
A.3 B.4 C.6 D.5
13.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是( )
A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
14.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于D,则BD的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题(共13小题)
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线.若AB=6,则点D到AB的距离是 .
16.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是 .
17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DC=3,则点D到AB的距离是 .
18.如图,在菱形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB于点E.若PE=3,则点P到AD的距离为 .
19.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是 .
20.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,那么点D到BC的距离是 .
21.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 .
22.如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,则∠AOQ= °.
23.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD= .
24.已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,PD=10,则PE的长度为 .
25.如图,BD是∠ABC的平分线,P为BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为 cm.
26.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD的面积是 .
27.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC与BC相交于点D,若AD=4,CD=2,则AB的长是 .
三、解答题(共3小题)
28.如图,四边形ABCD中,AC为∠BAD的角平分线,AB=AD,E、F两点分别在AB、AD上,且AE=DF.请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
29.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形.
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.
30.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.
(1)求DE的长;
(2)求△ADB的面积.
八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷参考答案
一、选择题(共14小题)
1.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线
D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据角平分线的性质分析,作∠E的平分线,点P到AB和CD的距离相等,即可得到S△PAB=S△PCD.
【解答】解:作∠E的平分线,
可得点P到AB和CD的距离相等,
因为AB=CD,
所以此时点P满足S△PAB=S△PCD.
故选D.
【点评】此题考查角平分线的性质,关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可.
2.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7 C.5 D.4
【考点】角平分线的性质.
【分析】作EF⊥BC于F,根据角平分线的性质求得EF=DE=2,然后根据三角形面积公式求得即可.
【解答】解:作EF⊥BC于F,
∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,
∴EF=DE=2,
∴S△BCE= BC•EF= ×5×2=5,
故选C.
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积,作出辅助线求得三角形的高是解题的关键.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE=1,则BC=( )
A. B.2 C.3 D. +2
【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形.
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长,然后在直角△BDE中,根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得BD长,则BC即可求得.
【解答】解:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=DE=1,
又∵直角△BDE中,∠B=30°,
∴BD=2DE=2,
∴BC=CD+BD=1+2=3.
故选C.
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,理解性质定理是关键.
4.如图,在边长为 的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为( )
A. B. C. D.1
【考点】角平分线的性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】根据△ABC为等边三角形,BP平分∠ABC,得到∠PBC=30°,利用PC⊥BC,所以∠PCB=90°,在Rt△PCB中, =1,即可解答.
【解答】解:∵△ABC为等边三角形,BP平分∠ABC,
∴∠PBC= =30°,
∵PC⊥BC,
∴∠PCB=90°,
在Rt△PCB中, =1,
∴点P到边AB所在直线的距离为1,
故选:D.
【点评】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用三角函数求值,解决本题的关键是等边三角形的性质.
5.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【考点】角平分线的性质.
【分析】过点P作PE⊥OB于点E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD,从而得解.
【解答】解:如图,
过点P作PE⊥OB于点E,
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA于D,
∴PE=PD,
∵PD=6,
∴PE=6,
即点P到OB的距离是6.
故选:A.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,是基础题,比较简单,熟记性质是解题的关键.
6.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是( )
A.2 B. C. D.
【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.
【分析】由OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,易得△OCP是等腰三角形,∠COP=30°,又由含30°角的直角三角形的性质,即可求得PE的值,继而求得OP的长,然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求得DM的长.
【解答】解:∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,
∴∠AOP=∠COP=30°,
∵CP∥OA,
∴∠AOP=∠CPO,
∴∠COP=∠CPO,
∴OC=CP=2,
∵∠PCE=∠AOB=60°,PE⊥OB,
∴∠CPE=30°,
∴CE= CP=1,
∴PE= = ,
∴OP=2PE=2 ,
∵PD⊥OA,点M是OP的中点,
∴DM= OP= .
故选:C.
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,AC=3,BC=4,则CD的长是( )
A.1 B. C. D.2
【考点】角平分线的性质;三角形的面积;勾股定理.
【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,利用勾股定理列式求出AB,再根据△ABC的面积公式列出方程求解即可.
【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,
∵∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,
∴DE=CD,
由勾股定理得,AB= = =5,
S△ABC= AB•DE+ AC•CD= AC•BC,
即 ×5•CD+ ×3•CD= ×3×4,
解得CD= .
故选C.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,三角形的面积,勾股定理,熟记性质并根据三角形的面积列出方程是解题的关键.
8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:
①OA=OD;
②AD⊥EF;
③当∠A=90°时,四边形AEDF是正方形;
④AE+DF=AF+DE.
其中正确的是( )
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的判定.
【专题】压轴题.
【分析】①如果OA=OD,则四边形AEDF是矩形,∠A=90°,不符合题意,所以①不正确.
②首先根据全等三角形的判定方法,判断出△AED≌△AFD,AE=AF,DE=DF;然后根据全等三角形的判定方法,判断出△AE0≌△AFO,即可判断出AD⊥EF.
③首先判断出当∠A=90°时,四边形AEDF的四个角都是直角,四边形AEDF是矩形,然后根据DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形即可.
④根据△AED≌△AFD,判断出AE=AF,DE=DF,即可判断出AE+DF=AF+DE成立,据此解答即可.
【解答】解:如果OA=OD,则四边形AEDF是矩形,∠A=90°,不符合题意,
∴①不正确;
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠EAD∠FAD,
在△AED和△AFD中,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,DE=DF,
∴AE+DF=AF+DE,
∴④正确;
在△AEO和△AFO中,
,
∴△AE0≌△AF0(SAS),
∴EO=FO,
又∵AE=AF,
∴AO是EF的中垂线,
∴AD⊥EF,
∴②正确;
∵当∠A=90°时,四边形AEDF的四个角都是直角,
∴四边形AEDF是矩形,
又∵DE=DF,
∴四边形AEDF是正方形,
∴③正确.
综上,可得
正确的是:②③④.
故选:D.
【点评】(1)此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用,以及直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.
(2)此题还考查了全等三角形的判定和应用,要熟练掌握.
(3)此题还考查了矩形、正方形的性质和应用,要熟练掌握.
9.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于( )
A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC
【考点】角平分线的性质.
【专题】压轴题.
【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,由于BE∥AC,利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质,可得∴△BDE∽△CDA,∠E=∠DAC,再利用相似三角形的性质可有 = ,而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD,于是BE=AB,等量代换即可证.
【解答】解:如图
过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,
∵BE∥AC,
∴∠DBE=∠C,∠E=∠CAD,
∴△BDE∽△CDA,
∴ = ,
又∵AD是角平分线,
∴∠E=∠DAC=∠BAD,
∴BE=AB,
∴ = ,
∴AB:AC=BD:CD.
故选:A.
【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论.关键是作平行线.
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;作图—基本作图.
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线;
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
【解答】解:①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.
故①正确;
②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°,
∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确;
④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,
∴CD= AD,
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD,S△DAC= AC•CD= AC•AD.
∴S△ABC= AC•BC= AC• AD= AC•AD,
∴S△DAC:S△ABC= AC•AD: AC•AD=1:3.
故④正确.
综上所述,正确的结论是:①②③④,共有4个.
故选D.
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质.
11.如图,三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,下面四个结论:
①∠AFE=∠AEF;
②AD垂直平分EF;
③ ;
④EF一定平行BC.
其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】由三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,根据角平分线的性质,可得DE=DF,∠ADE=∠ADF,又由角平分线的性质,可得AF=AE,继而证得①∠AFE=∠AEF;又由线段垂直平分线的判定,可得②AD垂直平分EF;然后利用三角形的面积公式求解即可得③ .
【解答】解:①∵三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠ADE=∠ADF,DF=DE,
∴AF=AE,
∴∠AFE=∠AEF,故正确;
②∵DF=DE,AF=AE,
∴点D在EF的垂直平分线上,点A在EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF,故正确;
③∵S△BFD= BF•DF,S△CDE= CE•DE,DF=DE,
∴ ;故正确;
④∵∠EFD不一定等于∠BDF,
∴EF不一定平行BC.故错误.
故选A.
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
12.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是( )
A.3 B.4 C.6 D.5
【考点】角平分线的性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】过点D作DF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.
【解答】解:如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF,
由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴ ×4×2+ ×AC×2=7,
解得AC=3.
故选:A.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.
13.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是( )
A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
【考点】角平分线的性质;三角形内角和定理.
【专题】计算题.
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°,再根据角平分线的定义求出∠ABO,然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB,根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO,再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC,判断出AD为三角形的外角平分线,然后列式计算即可求出∠DAC.
【解答】解:∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°,
故A选项正确,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABO= ∠ABC= ×50°=25°,
在△ABO中,
∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°,
∴∠DOC=∠AOB=85°,
故B选项错误;
∵CD平分∠ACE,
∴∠ACD= (180°﹣60°)=60°,
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°,
故C选项正确;
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线,
∴AD是△ABC的外角平分线,
∴∠DAC= (180°﹣70°)=55°,
故D选项正确.
故选:B.
【点评】本题考查了角平分线的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,熟记定理和概念是解题的关键.
14.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于D,则BD的长为( )
A. B. C. D.
【考点】角平分线的性质;三角形的面积;勾股定理.
【专题】压轴题.
【分析】根据勾股定理列式求出BC,再利用三角形的面积求出点A到BC上的高,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等,然后利用三角形的面积求出点D到AB的长,再利用△ABD的面积列式计算即可得解.
【解答】解:∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴BC= = =5,
∴BC边上的高=3×4÷5= ,
∵AD平分∠BAC,
∴点D到AB、AC上的距离相等,设为h,
则S△ABC= ×3h+ ×4h= ×5× ,
解得h= ,
S△ABD= ×3× = BD• ,
解得BD= .
故选A.
【点评】本题考查了角平分线的性质,三角形的面积,勾股定理,利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键.
二、填空题(共13小题)
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线.若AB=6,则点D到AB的距离是 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】求出∠ABC,求出∠DBC,根据含30度角的直角三角形性质求出BC,CD,问题即可求出.
【解答】解:∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC= ∠ABC=30°,
∴BC= AB=3,
∴CD=BC•tan30°=3× = ,
∵BD是∠ABC的平分线,
又∵角平线上点到角两边距离相等,
∴点D到AB的距离=CD= ,
故答案为: .
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.
16.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是 4:3 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】估计角平分线的性质,可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等,估计三角形的面积公式,即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比.
【解答】解:∵AD是△ABC的角平分线,
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1,h2,
∴h1=h2,
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB:AC=4:3,
故答案为4:3.
【点评】本题考查了角平分线的性质,以及三角形的面积公式,熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键.
17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DC=3,则点D到AB的距离是 3 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解.
【解答】解:作DE⊥AB于E,
∵AD是∠CAB的角平分线,∠C=90°,
∴DE=DC,
∵DC=3,
∴DE=3,
即点D到AB的距离DE=3.
故答案为:3.
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.
18.如图,在菱形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB于点E.若PE=3,则点P到AD的距离为 3 .
【考点】角平分线的性质;菱形的性质.
【专题】计算题.
【分析】作PF⊥AD于D,如图,根据菱形的性质得AC平分∠BAD,然后根据角平分线的性质得PF=PE=3.
【解答】解:作PF⊥AD于D,如图,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC平分∠BAD,
∵PE⊥AB,PF⊥AD,
∴PF=PE=3,
即点P到AD的距离为3.
故答案为:3.
【点评】本题考查了角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了菱形的性质.
19.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是 15 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】过D作DE⊥BC于E,根据角平分线性质求出DE=3,根据三角形的面积求出即可.
【解答】解:过D作DE⊥BC于E,
∵∠A=90°,
∴DA⊥AB,
∵BD平分∠ABC,
∴AD=DE=3,
∴△BDC的面积是 ×DE×BC= ×10×3=15,
故答案为:15.
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.
20.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,那么点D到BC的距离是 3 .
【考点】角平分线的性质;勾股定理.
【分析】首先过点D作DE⊥BC于E,由在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,根据角平分线的性质,即可得DE=AD,又由勾股定理求得AD的长,继而求得答案.
【解答】解:过点D作DE⊥BC于E,
∵在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,
即AD⊥BA,
∴DE=AD,
∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,BD=5,
∴AD= =3,
∴DE=AD=3,
∴点D到BC的距离是3.
故答案为:3.
【点评】此题考查了角平分线的性质与勾股定理的应用.此题难度不大,注意数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.
21.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 15 .
【考点】角平分线的性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】要求△ABD的面积,现有AB=10可作为三角形的底,只需求出该底上的高即可,需作DE⊥AB于E.根据角平分线的性质求得DE的长,即可求解.
【解答】解:作DE⊥AB于E.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为 ×3×10=15.
故答案是:15.
【点评】此题主要考查角平分线的性质;熟练运用角平分线的性质定理,是很重要的,作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键.
22.如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,则∠AOQ= 35 °.
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线,然后根据角平分线的定义解答即可.
【解答】解:∵QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,QC=QD,
∴OQ是∠AOB的平分线,
∵∠AOB=70°,
∴∠AOQ= ∠A0B= ×70°=35°.
故答案为:35.
【点评】本题考查了角平分线的判定以及角平分线的定义,根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线是解题的关键.
23.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD= 3 .
【考点】角平分线的性质;勾股定理.
【分析】过点D作DE⊥AB于E,利用勾股定理列式求出AB,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE,然后根据△ABC的面积列式计算即可得解.
【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,
∵∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB= = =10,
∵AD平分∠CAB,
∴CD=DE,
∴S△ABC= AC•CD+ AB•DE= AC•BC,
即 ×6•CD+ ×10•CD= ×6×8,
解得CD=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.
24.已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,PD=10,则PE的长度为 10 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD.
【解答】解:∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PE=PD=10.
故答案为:10.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观.
25.如图,BD是∠ABC的平分线,P为BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为 4 cm.
【考点】角平分线的性质.
【分析】BD是∠ABC的平分线,再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离.
【解答】解:∵BD是∠ABC的平分线,PE⊥AB于点E,PE=4cm,
∴点P到BC的距离=PE=4cm.
故答案为4.
【点评】本题考查了角平分线的性质.由已知能够注意到P到BC的距离即为PE长是解决的关键.
26.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD的面积是 4 .
【考点】角平分线的性质.
【专题】压轴题.
【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D,可得∠DCE=∠DCF;再根据DE⊥AC,DF⊥BC,可得∠DEC=∠DFC=90°,然后根据全等三角形的判定方法,判断出△CED≌△CFD,即可判断出DF=DE;最后根据三角形的面积=底×高÷2,求出△BCD的面积是多少即可.
【解答】解:∵CD平分∠ACB交AB于点D,
∴∠DCE=∠DCF,
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°,
在△DEC和△DFC中,
(AAS)
∴△DEC≌△DFC,
∴DF=DE=2,
∴S△BCD=BC×DF÷2
=4×2÷2
=4
答:△BCD的面积是4.
故答案为:4.
【点评】(1)此题主要考查了角平分线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
(2)此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用,以及三角形的面积的求法,要熟练掌握.
27.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC与BC相交于点D,若AD=4,CD=2,则AB的长是 4 .
【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【专题】计算题.
【分析】先求出∠CAD=30°,求出∠BAC=60°,∠B=30°,根据勾股定理求出AC,再求出AB=2AC,代入求出即可.
【解答】解:∵在Rt△ACD中,∠C=90°,CD=2,AD=4,
∴∠CAD=30°,
∴由勾股定理得:AC= =2 ,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=60°,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC=4 ,
故答案为:4 .
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质,三角形内角和定理,勾股定理的应用,解此题的关键是求出AC长和求出∠B=30°,注意:在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
三、解答题(共3小题)
28.如图,四边形ABCD中,AC为∠BAD的角平分线,AB=AD,E、F两点分别在AB、AD上,且AE=DF.请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
【考点】角平分线的性质;三角形的面积.
【分析】分别作CG⊥AB与G,CH⊥AD与H,由AC为∠BAD的角平分线,得到CG=CH,根据等底等高的三角形的面积相等得到△ABC面积=△ACD面积,又由于AE=DF,得到△AEC面积=△CDF面积,于是△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积,△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积,求出△BCE面积=△ACF面积,由四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积,四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积,得到四边形AECF面积=△ABC面积,又由于四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积,四边形ABCD面积=2△ABC面积,即可得到结果.
【解答】解:分别作CG⊥AB与G,CH⊥AD与H,
∵AC为∠BAD的角平分线,
∴CG=CH,
∵AB=AD,
∴△ABC面积=△ACD面积,
又∵AE=DF,
∴△AEC面积=△CDF面积,
∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积,
△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积,
∴△BCE面积=△ACF面积,
∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积,
四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积,
∴四边形AECF面积=△ABC面积,
又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积,
又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积,
∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半.
【点评】本题考查了角平分线的性质,三角形的面积,正确的作出辅助线是解题的关键.
29.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形.
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
【分析】(1)过点O作OM⊥AB,由角平分线的性质得OE=OM,由正方形的性质得OE=OF,易得OM=OF,由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上;
(2)由勾股定理得AB的长,利用方程思想解得结果.
【解答】(1)证明:过点O作OM⊥AB,
∵BD是∠ABC的一条角平分线,
∴OE=OM,
∵四边形OECF是正方形,
∴OE=OF,
∴OF=OM,
∴AO是∠BAC的角平分线,即点O在∠BAC的平分线上;
(2)解:∵在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,
∴AB= = =13,
设CE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,
∴ ,
解得: ,
∴CE=2,
∴OE=2.
【点评】本题主要考查了正方形的性质,以及角平分线定理及性质,熟练掌握正方形的性质,运用方程思想是解本题的关键.
30.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.
(1)求DE的长;
(2)求△ADB的面积.
【考点】角平分线的性质;勾股定理.
【分析】(1)根据角平分线性质得出CD=DE,代入求出即可;
(2)利用勾股定理求出AB的长,然后计算△ADB的面积.
【解答】解:(1)∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=DE,
∵CD=3,
∴DE=3;
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB= = =10,
∴△ADB的面积为S△ADB= AB•DE= ×10×3=15.
【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.