集合的有关概念

2017-01-13

集合的有关概念：

1.集合的有关概念。——卓越小编v整理资料，仅供参考。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意：

①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N*

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);

2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且 )

3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

5)补集：CUA={x| x A但x∈U}

注意：①? A，若A≠?，则? A ;

②若，，则 ;

③若且，则A=B(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：

(1) 与、?的区别;

(2) 与的区别;

(3) 与的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

5.交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;

③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

集合中元素特征认识不明致误：

典例：(5分)(2012·课标全国)已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为()

A.3B.6C.8D.10

易错分析本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素(x，y)不是有序数对，而是无序的两个数值;二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x-y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x-y∈A”的限制条件导致错解.

解析 ∵B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，A={1,2,3,4,5}，

∴x=2，y=1;x=3，y=1,2;x=4，y=1,2,3;x=5，y=1,2,3,4.

∴B={(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，

∴B中所含元素的个数为10.

答案 D

温馨提醒判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、(x，y);二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y=f(x)}表示函数y=f(x)的定义域，{y|y=f(x)}表示函数y=f(x)的值域，{(x，y)|y=f(x)}表示函数y=f(x)图象上的点.

遗忘空集致误：

典例：(4分)若集合P={x|x2+x-6=0}，S={x|ax+1=0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________.

易错分析从集合的关系看，S⊆P，则S=∅或S≠∅，易遗忘S=∅的情况.

解析 (1)P={-3,2}.当a=0时，S=∅，满足S⊆P;

当a≠0时，方程ax+1=0的解集为x=-a1，

为满足S⊆P可使-a1=-3或-a1=2，

即a=31或a=-21.故所求集合为21.

答案 21

温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时，存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论，如S=∅时，a=0;二是易忽略对字母的讨论.如-a1可以为-3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.

方法与技巧

1. 集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2. 对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化;对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号.

3. 对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

失误与防范

1. 空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

2. 解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.

3. 解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.

4. Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.

5. 要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性.

集合的有关概念

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