数学必修2空间几何体中的夹角和距离知识点

2017-06-12

空间几何体中的夹角和距离知识点

一、距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离.因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

1、两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离;求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。

2、点到平面的距离

平面外一点P，在该平面上的射影为P'，则线段PP'的长度就是点到平面的距离;求法：

(1)”一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

(2)、等体积法。

3、直线与平面的距离

一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离;

4、平行平面间的距离

两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

二、线面垂直

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。

1、两条异面直线所成的角

求法：①、先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得;②、通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是(0,90°]，向量所成的角范围是(0,180°]，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

2、直线和平面所成的角

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。

3、二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：

(Ⅰ)定义法;

(Ⅱ)利用三垂线定理或逆定理;

(Ⅲ)自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法。此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cosθ=S'/S，其中S为斜面面积，S′为射影面积，θ为斜面与射影面所成的二面角。

三、等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。