抛物线的标准方程

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

抛物线是指平面内到一个定点F(焦点)和一条定直线l(准线)距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

标准方程

右开口抛物线：y^2=2px

左开口抛物线:y^2= -2px

上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2(a大于等于0)

下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2(a小于等于0)

[p为焦准距(p>0)]

特点

在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0)，准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0;

在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0)，准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0;

在抛物线x^2=2py 中，焦点是(0，p/2)，准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0;

在抛物线x^2= -2py中，焦点是(0，-p/2)，准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0;

抛物线四种方程的异同

共同点：

①原点在抛物线上; ②对称轴为坐标轴;

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2;对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2;

②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程的右端取正号;开口方向与x(或y轴)的负半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号。

切线方程

抛物线y2=2px上一点(x0,y0)处的切线方程为：yoy=p(x+x0)

抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的切线方程为：y=kx-p/2k