高考数学立体几何专题复习题及答案
考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。下面是小编为大家整理的高考数学立体几何专题复习题，希望对大家有所帮助!
高考数学立体几何专题复习题
专题四 立体几何
第1讲 三视图及空间几何体的计算问题
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1.(2014•湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( ).
A.①和② B.③和①
C.④和③ D.④和②
解析 由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)且内有一个虚线(一个顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④;俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.
答案 D
2.(2013•东北三校第三次模拟)如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FC=GD=2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是 ( ).
解析 注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线，从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.
答案 D
3.(2014•安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
( ).
A.21+3 B.18+3
C.21 D.18
解析 由三视图知，几何体的直观图如图所示.因此该几何体的表面积为6×2×2-6×12×1×1+2×34×(2)2=21+3.
答案 A
4.(2013•广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ).
A.4 B.143
C.163 D.6
解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V=13(12+1×22+22)×2=143，故选B.
答案 B
5.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD正视图和俯视图如图，则三棱锥ABCD侧视图的面积为 ( ).
A.613 B.1813
C.213 D.313
解析 由正视图及俯视图可得，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧视图是腰长为2×322+32=613的等腰直角三角形，其面积为12×6132=1813.
答案 B
6.在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为 ( ).
A.13 B.7+32
C.72π D.14
解析 由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2(1×3+1×1+3×1)=14.
答案 D
7.(2013•湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 ( ).
A.32 B.1
C.2+12 D.2
解析 易知正方体是水平放置的，又侧视图是面积为2的矩形.所以正方体的对角面平行于投影面，此时正视图和侧视图相同，面积为2.
答案 D
二、填空题
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.
解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以V=2×2×4+12×22×π×4=16+8π.
答案 16+8π
9.(2013•江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2=________.
解析 设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1=13×14S•12h=124Sh=124V2，即V1∶V2=1∶24.
答案 1∶24
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________.
解析 利用三棱锥的体积公式直接求解.
VD1-EDF=VF-DD1F=13S△D1DE•AB=13×12×1×1×1=16.
答案 16
11.(2014•重庆卷改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________.
解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中，直角梯形ABPA1的面积为12×(2+5)×4=14，计算可得A1P=5.直角梯形BCC1P的面积为12×(2+5)×5=352.因为A1C1⊥平面A1ABP，A1P⊂平面A1ABP，所以A1C1⊥A1P，故Rt△A1PC1的面积为12×5×3=152.又Rt△ABC的面积为12×4×3=6，矩形ACC1A1的面积为5×3=15，故几何体ABC-A1PC1的表面积为14+352+152+6+15=60.
答案 60
12.已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为________.
解析 在Rt△ASC中，AC=1，∠SAC=90°，SC=2，所以SA=4-1=3.同理，SB=3.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，AD=BD，故SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形.因为∠ASC=30°，故AD=12SA=32，则△ABD的面积为12×1×AD2-122=24，则三棱锥S-ABC的体积为13×24×2=26.
答案 26
三、解答题
13.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥EABCD，AB=8，BC=6.
(1)V=13×8×6×4=64.
(2)四棱锥EABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1=42+822=42;
另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2=42+622=5.
因此S=2×12×6×42+12×8×5=40+242.
14.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直.
(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD;
(2)若∠EAD=∠EAB=60 °，EF=2.求多面体ABCDEF的体积.
(1)证明 ∵EA=ED且EE′⊥平面ABCD，
∴E′D=E′A，∴点E′在线段AD的垂直平分线上.
同理，点F′在线段BC的垂直平分线上.
又四边形ABCD是正方形，
∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上.
∴直线E′F′垂直且平分线段AD.
(2)解 如图，连接EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分.设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′=1，ME=3，∴EE′=2.
∴VEABCD=13•S正方形ABCD•EE′=13×22×2=423.
又VEBCF=VCBEF=VCBEA=VEABC=13S△ABC•EE′=13×12×22×2=223，
∴多面体ABCDEF的体积为VEABCD+VEBCF=22.
15.(2013•广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=22.
(1)证明：DE∥平面BCF;
(2)证明：CF⊥平面ABF;
(3)当AD=23时，求三棱锥F-DEG的体积VFDEG.
(1)证明 在等边三角形ABC中，AB=AC.
∵AD=AE，
∴ADDB=AEEC，∴DE∥BC，
∴DG∥BF，如图2，DG⊄平面BCF，
∴DG∥平面BCF.
同理可证GE∥平面BCF.
∵DG∩GE=G，∴平面GDE∥平面BCF，
∴DE∥平面BCF.
(2)证明 在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥FC，
∴BF=FC=12BC=12.
在图2中，∵BC=22，
∴BC2=BF2+FC2，∴∠BFC=90°，
∴FC⊥BF.
∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF.
(3)解 ∵AD=23，
∴BD=13，AD∶DB=2∶1，
在图2中，AF⊥FC，AF⊥BF，
∴AF⊥平面BCF，
由(1)知平面GDE∥平面BCF，
∴AF⊥平面GDE.
在等边三角形ABC中，AF=32AB=32，
∴FG=13AF=36，DG=23BF=23×12=13=GE，
∴S△DGE=12DG•EG=118，
∴VF-DEG=13S△DGE•FG=3324.