人教版八年级上数学期末试题

2017-06-01

想摘玫瑰,就要先折刺枝;想走坦途,就要斩除荆棘;想看到天明,就要勇闯夜寂;想考试高中,就要倍加努力:厚德载物,天道酬勤,祝八年级生物期末考顺利!下面是小编为大家整编的人教版八年级上数学期末试题,大家快来看看吧。

人教版八年级上册数学期末试题

一、选择题(每小题3分,共42分)

1.下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是( )

A. B. C. D.

2.一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为( )

A.7 B.9 C.12 D.9或12

3.某种感冒病毒的直径为0.0000000031米,用科学记数法表示为( )

A.3.1×10﹣9米 B.3.1×109米 C.﹣3.1×109米 D.0.31×10﹣8米

4.(附加题)如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1,∠2之间的数量关系是( )

A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=∠2﹣∠1 C.2∠A=∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)

5.下列计算错误的是( )

A.5a3﹣a3=4a3 B.(a2b)3=a6b3

C.(a﹣b)3(b﹣a)2=(a﹣b)5 D.2m•3n=6m+n

6.下列式子中,从左到右的变形是因式分解的是( )

A.(x﹣1)(x﹣2)=x2﹣3x+2 B.x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)

C.x2+4x+4=x(x﹣4)+4 D.x2+y2=(x+y)(x﹣y)

7.下列说法错误的是( )

A.三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分

B.三角形的三条中线,角平分线都相交于一点

C.直角三角形三条高交于三角形的一个顶点

D.钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部

8.已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式,则k的值是( )

A.8 B.±8 C.16 D.±16

9.分式 的值为零时,则x的值为( )

A.x=3 B.x=﹣3 C.x=±3 D.以上都不对

10.若分式 ,则分式 的值等于( )

A.﹣ B. C.﹣ D.

11.如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则四个结论正确的是( )

①点P在∠A的平分线上;

②AS=AR;

③QP∥AR;

④△BRP≌△QSP.

A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅②③正确 D.仅①和③正确

12.某服装加工厂计划加工400套运动服,在加工完160套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成全部任务.设原计划每天加工x套运动服,根据题意可列方程为( )

A. B.

C. D.

13.如图1,在△ABC中,∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F,过点F作DE∥BC,交直线AB于点D,交直线AC于点E,通过上述条件,我们不难发现:BD+CE=DE;如图2,∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F,过点F作DE∥BC,交直线AB于点D,交直线AC于点E,根据图1所得的结论,试猜想BD,CE,DE之间存在什么关系?( )

A.BD﹣CE=DE B.BD+CE=DE C.CE﹣DE=BD D.无法判断

14.如图,动点P从(0,3)出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第2015次碰到矩形的边时,点P的坐标为( )

A.(3,0) B.(7,4) C.(8,1) D.(1,4)

二、填空题(每题3分,共15分)

15.分解因式:a2b﹣b3= .

16.我们已经学过用面积来说明公式.如x2+2xy+y2=(x+y)2就可以用如图甲中的面积来说明.

请写出图乙的面积所说明的公式:x2+(p+q)x+pq= .

17.如图,∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角,若∠A=100°,则∠1+∠2+∠3+∠4= .

18.在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),D在第一象限,且DO=DB,△DOA为等腰三角形,则∠OBD的度数为 .

19.若分式方程: 有增根,则k= .

三、填空题(共63分)

20.计算.

(1)(﹣ )﹣2﹣(﹣ )2012×(1.5)2013+20140

(2)分解因式:x﹣2xy+xy2.

21.解方程: .

22.先化简,再求值: ,其中x=3.

23.在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系,已知格点三角形ABC(三角形的三个顶点都在小正方形上)

(1)画出△ABC关于直线l:x=﹣1的对称三角形△A1B1C1;并写出A1、B1、C1的坐标.

(2)在直线x=﹣l上找一点D,使BD+CD最小,满足条件的D点为 .

提示:直线x=﹣l是过点(﹣1,0)且垂直于x轴的直线.

24.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF.求证:AE=AF.

25.阅读下面材料完成分解因式

x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)

=x(x+p)+q(x+p)

=(x+p)(x+q)

这样,我们得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

例把x2+3x+2分解因式

分析:x2+3x+2中的二次项系数为1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.

解:x2+3x+2=(x+1)(x+2)

请仿照上面的方法将下列多项式分解因式:

①x2+7x+10; ②2y2﹣14y+24.

26.问题背景:

如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ;

探索延伸:

如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;

实际应用:

如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

人教版八年级上数学期末试题参考答案

一、选择题(每小题3分,共42分)

1.下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是( )

A. B. C. D.

【考点】轴对称图形.

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项正确;

B、不是轴对称图形,故本选项错误;

C、不是轴对称图形,故本选项错误;

D、不是轴对称图形,故本选项错误.

故选A.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.

2.一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为( )

A.7 B.9 C.12 D.9或12

【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解:当腰为5时,周长=5+5+2=12;

当腰长为2时,根据三角形三边关系可知此情况不成立;

根据三角形三边关系可知:等腰三角形的腰长只能为5,这个三角形的周长是12.

故选C.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.

3.某种感冒病毒的直径为0.0000000031米,用科学记数法表示为( )

A.3.1×10﹣9米 B.3.1×109米 C.﹣3.1×109米 D.0.31×10﹣8米

【考点】科学记数法—表示较小的数.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解:0.0000000031=3.1×10﹣9,

故选:A.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.(附加题)如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1,∠2之间的数量关系是( )

A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=∠2﹣∠1 C.2∠A=∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)

【考点】三角形内角和定理;翻折变换(折叠问题).

【分析】可连接AA′,分别在△AEA′、△ADA′中,利用三角形的外角性质表示出∠1、∠2;两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论.

【解答】解:连接AA′.

则△A′ED即为折叠前的三角形,

由折叠的性质知:∠DAE=∠DA′E.

由三角形的外角性质知:

∠1=∠EAA′+∠EA′A,∠2=∠DAA′+∠DA′A;

则∠1+∠2=∠DAE+∠DA′E=2∠DAE,

即∠1+∠2=2∠A.

故选C.

【点评】此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换,理清图中角与角的关系是解决问题的关键.

5.下列计算错误的是( )

A.5a3﹣a3=4a3 B.(a2b)3=a6b3

C.(a﹣b)3(b﹣a)2=(a﹣b)5 D.2m•3n=6m+n

【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法.

【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解.

【解答】解:A、5a3﹣a3=4a3,计算正确,故本选项错误;

B、(a2b)3=a6b3,计算正确,故本选项错误;

C、(a﹣b)3(b﹣a)2=(a﹣b)5,计算正确,故本选项错误;

D、2m•3n≠6m+n,计算错误,故本选项正确.

故选D.

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等知识,掌握运算法则是解答本题的关键.

6.下列式子中,从左到右的变形是因式分解的是( )

A.(x﹣1)(x﹣2)=x2﹣3x+2 B.x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)

C.x2+4x+4=x(x﹣4)+4 D.x2+y2=(x+y)(x﹣y)

【考点】因式分解的意义.

【分析】因式分解就是要将一个多项式分解为几个整式积的形式.

【解答】解:根据因式分解的概念,A,C答案错误;

根据平方差公式:(x+y)(x﹣y)=x2﹣y2所以D错误;

B答案正确.

故选B.

【点评】注意对因式分解概念的理解.

7.下列说法错误的是( )

A.三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分

B.三角形的三条中线,角平分线都相交于一点

C.直角三角形三条高交于三角形的一个顶点

D.钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部

【考点】三角形的角平分线、中线和高.

【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线、角平分线、高的概念可知.

【解答】解:A、三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分,错误;

B、三角形的三条中线,角平分线都相交于一点,正确;

C、直角三角形三条高交于直角顶点,正确;

D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部,正确.

故选A.

【点评】注意三角形的中线、角平分线、高的概念.以及三角形的中线、角平分线、高的交点的位置.

8.已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式,则k的值是( )

A.8 B.±8 C.16 D.±16

【考点】完全平方式.

【分析】根据完全平方公式的特点求解.

【解答】解:根据题意,原式是一个完全平方式,

∵64y2=(±8y)2,

∴原式可化成=(x±8y)2,

展开可得x2±16xy+64y2,

∴kxy=±16xy,

∴k=±16.

故选:D.

【点评】本题利用了完全平方公式求解:(a±b)2=a2±2ab+b2.注意k的值有两个,并且互为相反数.

9.分式 的值为零时,则x的值为( )

A.x=3 B.x=﹣3 C.x=±3 D.以上都不对

【考点】分式的值为零的条件.

【专题】计算题.

【分析】分母不为0,分子为0.

【解答】解:根据题意,得

x2﹣9=0且x﹣3≠0,

解得,x=﹣3.

故选B.

【点评】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.

10.若分式 ,则分式 的值等于( )

A.﹣ B. C.﹣ D.

【考点】分式的值.

【分析】根据已知条件,将分式 整理为y﹣x=2xy,再代入则分式 中求值即可.

【解答】解:整理已知条件得y﹣x=2xy;

∴x﹣y=﹣2xy

将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得

=

=

=

= .

故答案为B.

【点评】由题干条件找出x﹣y之间的关系,然后将其整体代入求出答案即可.

11.如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则四个结论正确的是( )

①点P在∠A的平分线上;

②AS=AR;

③QP∥AR;

④△BRP≌△QSP.

A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅②③正确 D.仅①和③正确

【考点】等边三角形的性质.

【分析】因为△ABC为等边三角形,根据已知条件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP,则AR=AS,故(2)正确,∠BAP=∠CAP,所以AP是等边三角形的顶角的平分线,故(1)正确,根据等腰三角形的三线合一的性质知,AP也是BC边上的高和中线,即点P是BC的中点,因为AQ=PQ,所以点Q是AC的中点,所以PQ是边AB对的中位线,有PQ∥AB,故(3)正确,又可推出△BRP≌△QSP,故(4)正确.

【解答】解:∵PR⊥AB于R,PS⊥AC于S

∴∠ARP=∠ASP=90°

∵PR=PS,AP=AP

∴Rt△ARP≌Rt△ASP

∴AR=AS,故(2)正确,∠BAP=∠CAP

∴AP是等边三角形的顶角的平分线,故(1)正确

∴AP是BC边上的高和中线,即点P是BC的中点

∵AQ=PQ

∴点Q是AC的中点

∴PQ是边AB对的中位线

∴PQ∥AB,故(3)正确

∵∠B=∠C=60°,∠BRP=∠CSP=90°,BP=CP

∴△BRP≌△QSP,故(4)正确

∴全部正确.

故选A.

【点评】本题利用了等边三角形的性质:三线合一,全等三角形的判定和性质,中位线的性质求解.

12.某服装加工厂计划加工400套运动服,在加工完160套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成全部任务.设原计划每天加工x套运动服,根据题意可列方程为( )

A. B.

C. D.

【考点】由实际问题抽象出分式方程.

【专题】工程问题.

【分析】关键描述语为:“共用了18天完成任务”;等量关系为:采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18.

【解答】解:采用新技术前用的时间可表示为: 天,采用新技术后所用的时间可表示为: 天.

方程可表示为: .

故选:B.

【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键.本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化.

13.如图1,在△ABC中,∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F,过点F作DE∥BC,交直线AB于点D,交直线AC于点E,通过上述条件,我们不难发现:BD+CE=DE;如图2,∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F,过点F作DE∥BC,交直线AB于点D,交直线AC于点E,根据图1所得的结论,试猜想BD,CE,DE之间存在什么关系?( )

A.BD﹣CE=DE B.BD+CE=DE C.CE﹣DE=BD D.无法判断

【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.

【分析】由∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F,过点F作DE∥BC,易证得△BDF与△CEF是等腰三角形,继而可求得答案.

【解答】解:如图2,∵DE∥BC,

∴∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠1,

∵∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F,

∴∠DBC=∠CBF,∠1=∠2,

∴∠DBC=∠DFB,∠EFC=∠2,

∴BD=DF,EF=CE,

∵DF=DE+EF,

∴BD=DE+CE.

即BD﹣CE=DE.

故选A.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

14.如图,动点P从(0,3)出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第2015次碰到矩形的边时,点P的坐标为( )

A.(3,0) B.(7,4) C.(8,1) D.(1,4)

【考点】规律型:点的坐标.

【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.

【解答】解:如图,

经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),

∵2015÷6=335…5,

∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹,

点P的坐标为(1,4).

故选:D.

【点评】此题考查了对点的坐标的规律变化的认识,作出图形,观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键.

二、填空题(每题3分,共15分)

15.分解因式:a2b﹣b3= b(a+b)(a﹣b) .

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】先提取公因式,再利用平方差公式进行二次因式分解.平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).

【解答】解:a2b﹣b3,

=b(a2﹣b2),(提取公因式)

=b(a+b)(a﹣b).(平方差公式)

故答案为:b(a+b)(a﹣b).

【点评】本题考查提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解因式要彻底.

16.我们已经学过用面积来说明公式.如x2+2xy+y2=(x+y)2就可以用如图甲中的面积来说明.

请写出图乙的面积所说明的公式:x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q) .

【考点】完全平方公式的几何背景.

【分析】利用面积分割法可证,大长方形的面积=三个长方形的面积+小正方形的面积,用代数式表示即可.

【解答】解:根据题意可知,

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

故答案为:(x+p)(x+q).

【点评】本题考查了十字相乘法的几何意义,利用了面积分割法,根据面积相等列式是解题的关键.

17.如图,∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角,若∠A=100°,则∠1+∠2+∠3+∠4= 280° .

【考点】多边形内角与外角.

【分析】先根据邻补角的定义得出与∠EAB相邻的外角∠5的度数,再根据多边形的外角和定理即可求解.

【解答】解:如图,∵∠EAB+∠5=180°,∠EAB=100°,

∴∠5=80°.

∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,

∴∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°

故答案为280°.

【点评】本题主要考查了多边形内角与外角的关系及多边形的外角和定理,比较简单.

18.在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),D在第一象限,且DO=DB,△DOA为等腰三角形,则∠OBD的度数为 45°,60°,75°,15° .

【考点】等腰三角形的判定;坐标与图形性质.

【分析】根据△DOA为等腰三角形,分三种情况:①OD=AD;②OD=OA③OA=OD分别求得各边的长度,再利用三角函数即可得出答案.

【解答】解:如图,

∵D在第一象限,且DO=DB,△DOA为等腰三角形,

∴点D分四种情况:①OD1=AD1;②OD2=OA;③OA=OD3;④AD4=OA

∴∠OBD1=45°,

∠OBD2=60°,

∠OBD3=15°+60°=75°,

∠OBD4=15°

故答案为:45°,60°,75°,15°

【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及坐标与图形的性质,熟练利用等腰三角形的性质是解题关键.

19.若分式方程: 有增根,则k= 1 .

【考点】分式方程的增根.

【专题】计算题.

【分析】把k当作已知数求出x= ,根据分式方程有增根得出x﹣2=0,2﹣x=0,求出x=2,得出方程 =2,求出k的值即可.

【解答】解:∵ ,

去分母得:2(x﹣2)+1﹣kx=﹣1,

整理得:(2﹣k)x=2,

∵分式方程 有增根,

∴x﹣2=0,

解得:x=2,

把x=2代入(2﹣k)x=2得:k=1.

故答案为:1.

【点评】本题考查了对分式方程的增根的理解和运用,把分式方程变成整式方程后,求出整式方程的解,若代入分式方程的分母恰好等于0,则此数是分式方程的增根,即不是分式方程的根,题目比较典型,是一道比较好的题目.

三、填空题(共63分)

20.计算.

(1)(﹣ )﹣2﹣(﹣ )2012×(1.5)2013+20140

(2)分解因式:x﹣2xy+xy2.

【考点】实数的运算;提公因式法与公式法的综合运用;零指数幂;负整数指数幂.

【分析】(1)分别根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可;

(2)先提取公因式,字啊根据完全平方公式进行分解即可.

【解答】解:(1)原式=4﹣1.5+1

=3.5;

(2)原式=x(1﹣2y+y2)

=x(1﹣y)2.

【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

21.解方程: .

【考点】解分式方程.

【专题】计算题.

【分析】先去分母把分式方程化为整式方程,求出整式方程中x的值,代入公分母进行检验即可.

【解答】解:方程两边同时乘以2(3x﹣1),得4﹣2(3x﹣1)=3,

化简,﹣6x=﹣3,解得x= .

检验:x= 时,2(3x﹣1)=2×(3× ﹣1)≠0

所以,x= 是原方程的解.

【点评】本题考查的是解分式方程.在解答此类题目时要注意验根,这是此类题目易忽略的地方.

22.先化简,再求值: ,其中x=3.

【考点】分式的化简求值.

【分析】首先将括号里面通分,进而因式分解化简求出即可.

【解答】解: ,

=[ + ]×

= ×

= ,

当x=3时,原式=2.

【点评】此题主要考查了分式的化简求值,正确因式分解得出是解题关键.

23.在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系,已知格点三角形ABC(三角形的三个顶点都在小正方形上)

(1)画出△ABC关于直线l:x=﹣1的对称三角形△A1B1C1;并写出A1、B1、C1的坐标.

(2)在直线x=﹣l上找一点D,使BD+CD最小,满足条件的D点为 (﹣1,1) .

提示:直线x=﹣l是过点(﹣1,0)且垂直于x轴的直线.

【考点】作图-轴对称变换;轴对称-最短路线问题.

【分析】(1)分别作出点A、B、C关于直线l:x=﹣1的对称的点,然后顺次连接,并写出A1、B1、C1的坐标;

(2)作出点B关于x=﹣1对称的点B1,连接CB1,与x=﹣1的交点即为点D,此时BD+CD最小,写出点D的坐标.

【解答】解:(1)所作图形如图所示:

A1(3,1),B1(0,0),C1(1,3);

(2)作出点B关于x=﹣1对称的点B1,

连接CB1,与x=﹣1的交点即为点D,

此时BD+CD最小,

点D坐标为(﹣1,1).

故答案为:(﹣1,1).

【点评】本题考查了根据轴对称变换作图,解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置,并顺次连接.

24.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF.求证:AE=AF.

【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的判定与性质.

【专题】证明题;压轴题.

【分析】方法一:连接CE,由与EF是线段AC的垂直平分线,故AE=CE,再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC,故可得出△AOE≌△COF,故AE=CF,所以四边形AFCE是平行四边形,再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形,故可得出结论.

方法二:首先证明△AOE≌△COF,可得OE=OF,进而得到AC垂直平分EF,再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF.

【解答】证明:连接CE,

∵EF是线段AC的垂直平分线,

∴AE=CE,OA=OC,

∵AE∥BC,

∴∠ACB=∠DAC,

在△AOE与△COF中,

∵ ,

∴△AOE≌△COF,

∴AE=CF,

∴四边形AFCE是平行四边形,

∵AE=CE,

∴四边形AFCE是菱形,

∴AE=AF.

另法:∵AD∥BC,

∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,

∵ ,

∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚,

∴OE=OF,

∴AC垂直平分EF,

∴AE=AF.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理,根据题意作出辅助线,构造出平行四边形是解答此题的关键.

25.阅读下面材料完成分解因式

x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)

=x(x+p)+q(x+p)

=(x+p)(x+q)

这样,我们得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

例把x2+3x+2分解因式

分析:x2+3x+2中的二次项系数为1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.

解:x2+3x+2=(x+1)(x+2)

请仿照上面的方法将下列多项式分解因式:

①x2+7x+10; ②2y2﹣14y+24.

【考点】因式分解-十字相乘法等.

【专题】阅读型.

【分析】仿照上述的方法,将原式分解即可.

【解答】解:①x2+7x+10=(x+2)(x+5);

②2y2﹣14y+24=2(y2﹣7y+12)=2(y﹣3)(y﹣4).

【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法,熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键.

26.问题背景:

如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 EF=BE+DF ;

探索延伸:

如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;

实际应用:

如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】压轴题;探究型.

【分析】问题背景:根据全等三角形对应边相等解答;

探索延伸:延长FD到G,使DG=BE,连接AG,根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG,然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AG,∠BAE=∠DAG,再求出∠EAF=∠GAF,然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=GF,然后求解即可;

实际应用:连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后求出∠EOF= ∠AOB,判断出符合探索延伸的条件,再根据探索延伸的结论解答即可.

【解答】解:问题背景:EF=BE+DF;

探索延伸:EF=BE+DF仍然成立.

证明如下:如图,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,

∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,

∴∠B=∠ADG,

在△ABE和△ADG中,

∴△ABE≌△ADG(SAS),

∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,

∵∠EAF= ∠BAD,

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,

∴∠EAF=∠GAF,

在△AEF和△GAF中,

∴△AEF≌△GAF(SAS),

∴EF=FG,

∵FG=DG+DF=BE+DF,

∴EF=BE+DF;

实际应用:如图,连接EF,延长AE、BF相交于点C,

∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°,

∠EOF=70°,

∴∠EOF= ∠AOB,

又∵OA=OB,

∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°,

∴符合探索延伸中的条件,

∴结论EF=AE+BF成立,

即EF=1.5×(60+80)=210海里.

答:此时两舰艇之间的距离是210海里.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,读懂问题背景的求解思路,作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键,也是本题的难点.

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