高三数学奇偶性及周期性知识点整理
学习数学的时候我们就可以了解到函数的奇偶性及周期性是函数的一个重要性质,下面是小编给大家带来的高三数学奇偶性及周期性知识点整理，希望对你有帮助。
高三数学函数的奇偶性、周期性知识点(一)
函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
函数的周期性：
(1)定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x+T)=f(x)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
(2)若T是周期，则k·T(k≠0，k∈Z)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f(x)=C。
奇函数与偶函数性质：
(1)奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
(3)在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
2、函数的周期性 令a,b均不为零，若：
(1)函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a|
(2)函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a|
(3)函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a|
(4)函数y=f(x)存在f(x+a)=
==>函数最小正周期T=|2a|
(5)函数y=f(x)存在f(x+a)=
==>函数最小正周期T=|4a|
高三数学函数的奇偶性、周期性知识点(二)
一、函数的奇偶性
二、周期性
1、周期函数
对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
2、最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
三、奇、偶函数的有关性质：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反之亦然;
(3)若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0;
(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.
(5)若函数满足f(x+T)=f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期;应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期.
四、利用定义判断函数奇偶性的方法
(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件;
(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例).
判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.
【特别提醒】
函数奇偶性的应用
(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式.
利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式.
(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.
常常采用待定系数法：利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.
(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.