高考数学柯西不等式知识点总结

2017-06-14

柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式,它们在高等数学中的应用很普遍,下面是小编给大家带来的高考数学柯西不等式知识点总结,希望对你有帮助。

高考数学柯西不等式知识点总结(一)

所谓柯西不等式是指:设ai,bi∈R(i=1,2…,n,),则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2),等号当且仅当==…=时成立。

柯西不等式证法:

柯西不等式的一般证法有以下几种:

(1)柯西不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai, bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.

我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)

则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.

于是移项得到结论。

(2)用向量来证.

m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)

mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.

因为cosX小于等于1,所以:a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)

这就证明了不等式.

柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法.

柯西不等式应用:

可在证明不等式,解三角形相关问题,求函数最值,解方程等问题的方面得到应用。

巧拆常数:

例:设a、b、c 为正数且各不相等。

求证: 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

分析:∵a 、b 、c 均为正数

∴为证结论正确只需证:2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又 9=(1+1+1)(1+1+1)

证明:Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9

又 a、b 、c 各不相等,故等号不能成立

∴原不等式成立。

像这样的例子还有很多,词条里不再一一列举,大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献.

柯西简介:

1789年8月21日生于巴黎,他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员,在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因,柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派,是一位虔诚的天主教徒。

他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的,很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼,如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上,他是被认为在数量上仅次于欧拉的人,他一生一共著作了789篇论文和几本书,其中有些还是经典之作,不过并不是他所有的创作质量都很高,因此他还曾被人批评高产而轻率,这点倒是与数学王子相反,据说,法国科学院''会刊''创刊的时候,由于柯西的作品实在太多,以致于科学院要负担很大的印刷费用,超出科学院的预算,因此,科学院后来规定论文最长的只能够到四页,所以,柯西较长的论文只得投稿到其他地方。

柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是,他弄清了弹性理论的基本数学结构,为弹性力学奠定了严格的理论基础。

高考数学柯西不等式知识点总结(二)

一、一般形式

(∑(ai))(∑(bi)) ≥ (∑ai·bi)

等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零。

一般形式的证明

(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2

证明:

等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.................... 共n2 /2项

等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2 /2项

用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证

二、向量形式

|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,...,bn)(n∈N,n≥2)

等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。

向量形式的证明

令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<<b>m,n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<<b>m,n> ∵cos<<b>m,n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) 注:“√”表示平方根。

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