高考数学柯西不等式知识点总结
柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式,它们在高等数学中的应用很普遍，下面是小编给大家带来的高考数学柯西不等式知识点总结，希望对你有帮助。
高考数学柯西不等式知识点总结(一)
所谓柯西不等式是指:设ai,bi∈R(i=1,2…,n,),则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2),等号当且仅当==…=时成立。
柯西不等式证法:
柯西不等式的一般证法有以下几种：
(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
(2)用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式.
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.
柯西不等式应用:
可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献.
柯西简介:
1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。
他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方。
柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础。
高考数学柯西不等式知识点总结(二)
一、一般形式
(∑(ai))(∑(bi)) ≥ (∑ai·bi)
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
一般形式的证明
(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
证明：
等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.................... 共n2 /2项
等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2 /2项
用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证
二、向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)
等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
向量形式的证明
令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<<b>m,n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<<b>m,n> ∵cos<<b>m,n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) 注：“√”表示平方根。