数学与三角函数

2017-06-01

数学与三角函数的定义

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数十组诱导公式

公式一

sin(2kπ+α)=sin α

cos(2kπ+α)=cos α

tan(2kπ+α)=tan α

cot(2kπ+α)=cot α

sec(2kπ+α)=sec α

csc(2kπ+α)=csc α

公式二

sin(π+α)=-sin α

cos(π+α)=-cos α

tan(π+α)=tan α

cot(π+α)=cot α

sec(π+α)=-sec α

csc(π+α)=-csc α

公式三

sin(-α)=-sin α

cos(-α)=cos α

tan(-α)=-tan α

cot(-α)=-cot α

sec(-α)=sec α

csc(-α)=-csc α

公式四

sin(π-α)=sin α

cos(π-α)=-cos α

tan(π-α)=-tan α

cot(π-α)=-cot α

sec(π-α)=-sec α

csc(π-α)=csc α

公式五

sin(α-π)=-sin α

cos(α-π)=-cos α

tan(α-π)=tan α

cot(α-π)=cot α

sec(α-π)=-sec α

csc(α-π)=-csc α

公式六

sin(2π-α)=-sin α

cos(2π-α)=cos α

tan(2π-α)=-tan α

cot(2π-α)=-cot α

sec(2π-α)=sec α

csc(2π-α)=-csc α

公式七

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=−sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sec(π/2+α)=-cscα

csc(π/2+α)=secα

公式八

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sec(π/2-α)=cscα

csc(π/2-α)=secα

公式九

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sec(3π/2+α)=cscα

csc(3π/2+α)=-secα

公式十

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

sec(3π/2-α)=-cscα

csc(3π/2-α)=-secα

三角函数相关定理

正弦定理

对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：

sinA / a = sinB / b = sinC/c

也可表示为：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

其中R是三角形的外接圆半径。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是通过A,B和C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。

三角函数正弦定理可用于求得三角形的面积：

S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

余弦定理

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

a² = b² + c²- 2bc·cosA

b² = a² + c² - 2ac·cosB

c² = a² + b² - 2ab·cosC

也可表示为：

cosC=(a² +b² -c²)/ 2ab

cosB=(a² +c² -b²)/ 2ac

cosA=(c² +b² -a²)/ 2bc

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

物理力学方面的平行四边形定则中也会用到相关知识。

延伸定理：第一余弦定理(任意三角形射影定理)

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A

正切定理

对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：

(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]

广义射影定理

三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC

三角恒等式

对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证明：

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

类似地，我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ。

数学与三角函数

相关话题