高考数学必修4第三章三角恒等变形综合检测题及答案

考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。下面是小编为大家整理的高一数学必修四第三章三角恒等变形综合检测题，请认真复习!

高一数学必修四第三章三角恒等变形综合检测题及答案解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°等于( )

A.0 B.12

C.32 D.1

【解析】 sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°

=sin(15°+75°)=sin 90°=1.

【答案】 D

2.在锐角△ABC中，设x=sin A•sin B，y=cos A•cos B，则x、y的大小关系为( )

A.x≤y B.x>y

C.x

【解析】 y-x=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C，

∵C为锐角，∴-cos C<0，

∴y-x<0，即x>y.

【答案】 B

3.若sin α+cos α=tan α(0<α<π2)，则α的取值范围是( )

A.(0，π6) B.(π6，π4)

C.(π4，π3) D.(π3，π2)

【解析】 因为sin α+cos α=2sin(α+π4)，当0<α<π2时，此式的取值范围是(1，2]，而tan α在(0，π4)上小于1，故可排除A，B;在(π3，π2)上sin α+cos α与tan α不可能相等，所以D不正确，故选C.

【答案】 C

4.在△ABC中，若sin C=2cos Asin B，则此三角形必是( )

A.等腰三角形 B.正三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

【解析】 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)，

∴sin Acos B+cos Asin B=2cos Asin B.

∴sin(A-B)=0，∴A=B，

∴△ABC为等腰三角形.

【答案】 A

5.(2012•陕西高考)设向量a=(1，cos θ)与b=(-1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )

A.22 B.12

C.0 D.-1

【解析】 a=(1，cos θ)，b=(-1,2cos θ).

∵a⊥b，∴a•b=-1+2cos2θ=0，

∴cos2θ=12，∴cos 2θ=2cos2θ-1=1-1=0.

【答案】 C

6.当0<x<π2时，函数f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x的最小值为( )

A.2 B.23

C.4 D.43

【解析】 f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x=2cos2x+8sin2x2sin xcos x=cot x+4tan x≥24=4.当且仅当cot x=4tan x，即tan x=12时取得等号.故选C.

【答案】 C

7.(2013•江西高考)若sin α2=33，则cos α=( )

A.-23 B.-13

C.13 D.23

【解析】 cos α=1-2sin2α2=1-2×332=1-23=13.

【答案】 C

8.(2013•重庆高考)4cos 50°-tan 40°=( )

A.2 B.2+32

C.3 D.22-1

【解析】 4cos 50°-tan 40°=4sin 40°-sin 40°cos 40°

=4sin 40°cos 40°-sin 40°cos 40°=2sin 80°-sin 40°cos 40°

=sin 80°+sin60°+20°-sin60°-20°cos 40°

=sin 80°+2cos 60°sin 20°cos 40°=sin 80°+sin 20°cos 40°

=sin50°+30°+sin50°-30°cos 40°

=2sin 50°cos 30°cos 40°=3•cos 40°cos 40°=3.

【答案】 C

9.已知f(x)=sin2(x+π4)，若a=f(lg 5)，b=f(lg 15)，则( )

A.a+b=0 B.a-b=0

C.a+b=1 D.a-b=1

【解析】 由题意知f(x)=sin2(x+π4)=1-cos2x+π22=1+sin 2x2，

令g(x)=12sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)=g(x)+12，a=f(lg 5)=g(lg 5)+12，b=f(lg 15)=g(lg 15)+12，则a+b=g(lg 5)+g(lg 15)+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+1=1，故a+b=1.

【答案】 C

10.对于函数f(x)=2sin xcos x，下列选项中正确的是( )

A.f(x)在(π4，π2)上是递增的

B.f(x)的图像关于原点对称

C.f(x)的最小正周期为2π

D.f(x)的最大值为2

【解析】 f(x)=2sin xcos x=sin 2x，

∴f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称.

【答案】 B

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)

11.(2012•江西高考)若sin α+cos αsin α-cos α=12，则tan 2α=________.

【解析】 由sin α+cos αsin α-cos α=12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α+1tan α-1=12，解得tan α=-3，则tan 2α=2tan α1-tan2α=34.

【答案】 34

12.知α，β∈(0，π4)，tan α21-tan2α2=14，且3sin β=sin(2α+β)，则α+β=________.

【解析】 由tan α21-tan2α2=14，得tan α=12.由3sin β=sin(2α+β)，得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，化简得tan(α+β)=2tan α=1.由于α，β∈(0，π4)，故α+β∈(0，π2)，所以α+β=π4.

【答案】 π4

13.若θ是第二象限角，cos θ2-sin θ2=1-sin θ，则角θ2所在的象限是________.

【解析】 ∵1-sin θ= sin θ2-cos θ22

=|sin θ2-cos θ2|=cos θ2-sin θ2，

∴sin θ2<cos θ2.

∵θ是第二象限角，

∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z.

则π4+kπ<θ2<π2+kπ.k∈Z.

由上可得54π+2kπ<θ2<32π+2kπ，k∈Z.所以θ2是第三象限角.

【答案】 第三象限角

14.函数f(x)=sin2(2x-π4)的最小正周期是________.

【解析】 f(x)=1-cos22x-π42

=1-cos4x-π22=1-sin 4x2，

∴最小正周期T=2π4=π2.

【答案】 π2

15.(2012•江苏高考)设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为________.

【解析】 ∵α为锐角且cos(α+π6)=45，

∴sin(α+π6)=35.

∴sin(2α+π12)=sin[2(α+π6)-π4]

=sin 2(α+π6)cos π4-cos 2(α+π6)sin π4

=2sin(α+π6)cos(α+π6)-22[2cos2(α+π6)-1]

=2×35×45-22[2×(45)2-1]=12225-7250=17250.

【答案】 17250

三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分12分)(2013•辽宁高考)设向量a=(3sin x，sin x)，b=(cos x，sin x)，x∈0，π2.

(1)若|a|=|b|，求x的值;

(2)设函数f(x)=a•b，求f(x)的最大值.

【解】 (1)由|a|2=(3sin x)2+sin2 x=4sin2x，

|b|2=cos2x+sin2x=1，

及|a|=|b|，得4sin2x=1.

又x∈0，π2，从而sin x=12，

所以x=π6.

(2)f(x)=a•b=3sin x•cos x+sin2x

=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-π6+12，

当x=π3∈0，π2时，sin2x-π6取最大值1.

所以f(x)的最大值为32.

17.(本小题满分12分)若2sin(π4+α)=sin θ+cos θ，2sin2β=sin 2θ，求证：sin 2α+12cos 2β=0.

【证明】 由2sin(π4+α)=sin θ+cos θ得2cos α+2sin α=sin θ+cos θ，两边平方得

2(1+sin 2α)=1+sin 2θ，即

sin 2α=12(sin 2θ-1)， ①

由2sin2β=sin 2θ得，1-cos 2β=sin 2θ. ②

将②代入①得

sin 2α=12[(1-cos 2β)-1]得

sin 2α=-12cos 2β，

即sin 2α+12cos 2β=0.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=4cos ωx•sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值;

(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性.

【解】 (1)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4

=22sin ωx•cos ωx+22cos2ωx

=2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2.

因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，

从而有2π2ω=π，故ω=1.

(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π4)+2.

若0≤x≤π2，则π4≤2x+π4≤5π4.

当π4≤2x+π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增;

当π2<2x+π4≤5π4，即π8

综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减.

19.(本小题满分13分)已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2，x∈R(其中ω>0).

(1)求函数f(x)的值域;

(2)若对任意的a∈R，函数y=f(x)，x∈(a，a+π]的图像与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y=f(x)，x∈R的单调增区间.

【解】 (1)f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2=2sin ωxcos π6-cos ωx-1

=2sin(ωx-π6)-1，

∵x∈R，∴f(x)的值域为[-3,1].

(2)由题意得函数f(x)的周期为π.

∴2πω=π，∴ω=2，

∴f(x)=2sin(2x-π6)-1.

令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z.

得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z.

∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-π6，kπ+π3]，k∈Z.

图1

20.(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(-35，45).

(1)求sin 2α+cos 2α+11+tan α的值;

(2)若OP→•OQ→=0，求sin(α+β).

【解】 (1)由三角函数定义得cos α=-35，sin α=45，

则原式=2sin αcos α+2cos2α1+sin αcos α=2cos αsin α+cos αsin α+cos αcos α

=2cos2α=2×(-35)2=1825.

(2)∵OP→•OQ→=0，∴α-β=π2.

∴β=α-π2.

∴sin β=sin(α-π2)=-cos α=35，

cos β=cos(α-π2)=sin α=45.

∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β

=45×45+(-35)×35=725.

21.(本小题满分13分)(2012•湖北高考)设函数f(x)=sin2ωx+23sin ωx•cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图像关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1).

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若y=f(x)的图像经过点(π4，0)，求函数f(x)的值域.

【解】 (1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx+23sin ωx•cos ωx+λ=-cos 2ωx+3sin 2ωx+λ=2sin(2ωx-π6)+λ，

由直线x=π是y=f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ-π6)=±1，

所以2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z)，即ω=k2+13(k∈Z).

又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k=1，故ω=56.

所以函数f(x)的最小正周期是6π5.

(2)由y=f(x)的图像过点(π4，0)，得f(π4)=0，

即λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin π4=-2，即λ=-2.

故f(x)=2sin(53x-π6)-2，函数f(x)的值域为[-2-2，2-2].