什么是线性系统 线性系统的简介

线性系统是一数学模型，是指用线性运算子组成的系统。那么你对线性系统了解多少呢?以下是由小编整理关于什么是线性系统的内容，希望大家喜欢!

线性系统的简介

状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。叠加原理是指：如果系统相应于任意两种输入和初始状态(u1(t),x01)和(u2(t),x02)时的状态和输出分别为(x1(t),y1(t))和(x2(t),y2(t)), 则当输入和初始状态为(C1u1(t)+C2u2(t),C1x01+C2x02)时，系统的状态和输出必为(C1x1(t)+C2x2(t),C1y1(t)+C2y2(t)),其中x表示状态，y表示输出，u表示输入，C1和C2为任意实数。一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统。但是，相反的命题在某些情况下可能不成立。线性系统的状态变量(或输入变量)与输出变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述，这种方程称为系统的数学模型。作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应。前者指由非零初始状态所引起的响应;后者则指由输入引起的响应。两者可分别计算。这一性质为线性系统的分析和研究带来很大方便。

严格地说，实际的物理系统都不可能是线性系统。但是，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。例如一个电子放大器，在小信号下就可以看作是一个线性放大器，只是在大范围时才需要考虑其饱和特性即非线性特性。线性系统的理论比较完整，也便于应用，所以有时对非线性系统也近似地用线性系统来处理。例如在处理输出轴上的摩擦力矩时，常将静摩擦当作与速度成比例的粘性摩擦来处理，以便于得出一些可用来指导设计的结论。从这个意义上来说，线性系统是一类得到广泛应用的系统。

线性的概念

线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数;非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍?很容易想到的是两倍，可实际是 6-10倍!这就是非线性。激光也是非线性的!天体运动存在混沌;电、光与声波的振荡，会突陷混沌;地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。

双线性的介绍

式中分别是状态向量和控制向量，上标T表示转置;A，Pi和B均为常系数矩阵;dx/dt表示x对时间t的微商。这类状态方程的特点是，它相对于状态或控制在形式上分别是线性的，双线性的名称即源于此。但同时相对于状态和控制来说，系统则不是线性的。它实际上是一类具有比较简单形式的特殊非线性系统。双线性系统模型是对线性系统模型的推广，它能更准确地描述一类实际过程。生物繁殖过程就是一个典型的例子，用状态变量x表示种群中生物体的数量，控制变量u表示可人为控制的净增殖率,则控制种群中生物体数量的繁殖过程可用形式为dx/dt=ux的一个双线性系统来描述。双线性系统模型已被广泛用于工程、生物、人体、经济和社会问题的研究。例如，化学反应中的催化作用问题;人体内的水平衡过程、体温调节过程、呼吸中氧和二氧化碳交换过程、心血管调节过程等问题;细胞内的某些生物化学反应问题;社会和经济领域中的人口问题，动力资源问题，钢铁、煤炭、石油产品生产问题等。

双线性系统的研究始于60年代，70年代以来得到了广泛的重视和迅速的发展，成为非线性系统研究中比较成熟的分支之一。双线性系统理论中已有的主要结果为：

① 双线性系统具有变结构系统的一些特征，因而有一定的自适应性(见适应控制系统)。

② 对于控制变量受限制(即控制变量的大小必须在一定的界限内)的情况，已经找到用频率域语言表达的稳定性条件。

③ 双线性系统具有比线性系统更好的能控性。即使控制变量受限制，系统仍可能是完全能控的。已经获得系统完全能控的一些充分条件。

④ 用李雅普诺夫稳定性理论能够求得双线性系统的镇定控制解,即可找到一个反馈控制律u=u(x)使系统实现全局稳定。这种控制函数是开关型或饱和型的，开关曲面(或曲线)对状态变而言是二次曲面(或曲线)。

⑤ 采用动态规划或极大值原理已能解决双线性系统的一些最优控制问题,如最速控制，最省燃料控制,以及离散双线性系统和随机双线性系统的最优控制等。

双线性系统理论已有不少实际应用的例子。例如核电站、核动力装置中核裂变和热交换过程的最优控制，人口预测和控制等。