关于大学高数论文范文

数学的教学从小学一直到大学都是每个学校的重要组成部分,并且数学在重要的考试中所占的比重也是非常大。下面是小编为大家整理的关于大学高数论文，供大家参考。

关于大学高数论文范文一：高数论文

多元函数微分学是高等数学中的一个重点，它涉及的内容是微积分学内容在多元函数中的体现，其中有关多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点。

当前，多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果，但是，在一些学术性论文中只是对二元函数的连续性、偏导存在及可微性的个别关系做了具体的说明，因此，想要达到对这方面知识能做到全面的掌握对学生来说仍是一大难题。 本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念及它们之间因果关系. 然后推广到多元函数，由此来总结有关多元函数的连续性、偏导存在及可微性之间的关系，并对二元函数具体的实例详细加以证明，建立它们之间的关系图，这样对有效理解和掌握多远函数微分学知识将起到重要作用。

一、函数连续

一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二

p(x,y)f(x,y)元函数f(x,y)来说，即使它在某点000既存在关于x的偏导数x00，又存在

关于y的偏导数

域fy(x0,y0)，f(x,y)也未必在p0(x0,y0)连续。甚至，在p0(x0,y0)的某邻U(p0)存在偏导数fx(x,y)(或fy(x,y))f(x,y)(或fy(x,y))在点，而且x

p0(x0,y0)连续，也不能保证f(x,y)在p0(x0,y0)连续.如函数

21y0sinx,y

0,y0f(x,y)

关于具体验算步骤不难得出。过，我们却有如下的定理。

定理1 [1]设函数f(x,y)在点p0(x0,y0)的某邻域U(p0)内有定义，若f(x0,y)作为y的一元函数在点y=y0连续，fx(x,y)在U(p0)内有界，则f(x,y)在点p0(x0,y0)连续。

p(x,y)U(p0)有定义，fy(x,y)在U(p0)定理2 [4]设函数f(x,y)在点000的某邻域内有界，

f(x,y0)作为x的一元函数在点xx0连续，则f(x,y)在点p0(x0,y0)连续。

定理1和定理2可推广到更多元的情形中去。

000

f(x,x,,x)p(x,x,,x12n在点012n)的某邻域U(p0)内有定义， 定理 3[5] 设函数

fxi(x1,x2,xn)

U(p0)有界(i1,2,n),f(x1,xi1,xi,xi1,xn)作为

在

00

x1,xi1,xi1,xn的n-1元函数在点(x1,xi01,xi01,xn)连续，则 f(x1,x2,,xn)在 000

p(x,x,,xn)连续。 点012

二、多元函数的偏导数

我们知道高等数学及数学分析教材中有：偏导数

//

fxy

////fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)

此式成立的条件为：

和

//

fyx

在

(x0,y0)都连续。

下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件。

//////

fffp(x,y)ff(x,y)yyxyx

定理4 [6]若函数在000的某邻域内偏导数x，及存在，且//////

fxyfxy(x0,y0)fyx(x0,y0)pp00在对y连续，则偏导数在存在，且

三、多元函数的可微性

考察函数的可微性时，如果知道偏导数连续，则函数一定可微.但是偏导数连续性条件常常不满足，或不易判断。知函数在点

p0可微的必要条件是各个偏导数在p0处存在.如果

p函数zf(x,y)在0处的全增量可表示为：

z=A

则常数A与B一定为A=

x+B

y+()

fx(p0) B=fy(P0) 且函数在P0处可微。[7]

lim

Z

0p定理5[2] 设n元函数zf(p)在0的某个邻域内有定义，且极限存在，记

为

p(1) 若0，则函数zf(p)在0处不可微;

dzp

0p0

(2) 若=0，则函数在0处可微且，其中。

我们以二元函数为例证明。

定理6[3] 若n+1元函数可微(即把

f(x1,xn,y)关于y的偏导数对n+1个变量连续，x,xn

关于1

f(x1,xn,y)

可微。

f(x1,xn,y)

中的y看成常数后可微)，则n+1元函数

推论 若n(n≥2)元函数

f(x1,xn,)的偏导数存在，且至多有一个偏导不连续，则

f(x1,xn,)可微。

1、

若函数在点P可微该函数在点P连续;若函数在点P可微该函数在P点处存在偏导数;若函数在点P可微该函数在点P处的一切方向导数都存在。

2、 3、

若函数在P点处连续函数在点P处存在偏导数。

若函数在P点处偏导数存在该函数在点P处的一切方向导数存在(仅有

/

fx这种关系：函数在点P处偏导数存在该函数在P处沿X轴方向的导数存

在)，函数在P处的一切方向导数存在该函数在P处偏导存在。

4、 5、

函数在P处的一切方向导数都存在该函数在P处连续。 函数在P处的一切方向导数都存在该函数在点P处可微。[11]

多元函数在点P可微，那么函数在P点的偏导数必存在。即偏导数存在时可微的必要但不充分条件。而多元函数偏导数在点P连续是函数在该点可微分的充分条件，但不是必要条件。但是，多元函数在一点连续在该点其偏导数不一定存在，也不一定可微;多元函数在一点偏导数存在而在该点不一定连续;多元函数在一点可微在该点也不一定连续。[12] 若n+1元函数

f(x1,xn,y)

关于y的偏导数对n+1个变量连续，关于

x1,xi1,xi1,xn可微(即把f(x1,xn,y)中的y看成常数后可微)，则n+1元函数

f(x1,xn,y)

可微。[13]

关于大学高数论文范文二：第二型曲面积分化为二重积分计算

摘要：第二型曲面积分属于向量函数的积分，在流体力学和电磁学等领域有极为广泛的运用。所以，正确选择计算第二型曲面积分的方法对解决问题有着很大的帮助。一般的书本都介绍的主要通过将其转化为二重积分或利用高斯公式计算。第二型曲面积分和二重积分有着密切的关系，这里介绍将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法。并且希望大学生能够培养对高等数学的爱好，努力钻研高等数学。

关键词：第二型曲面积分、二重积分、转换、计算、钻研高等数学

正文：

1.第二型曲面积分定义：

设为光滑的有向曲面，函数R(x,y,z)在上有界，把任意分割成n块小曲面Si(i1,2,,n)(Si同时表示第i小块曲面的面积), Si在xoy坐标面上的投影为(Si)xy,(i,i,i)Si ,若当各小块曲面的直径的最大值0时，lim,Ri(i0i1niR(x,y,z)在有向曲面上对坐标x,y的,S)(i存在。则称此极限值为xy)

曲面积分(或第二型曲面积分).记作R(x,y,z)dxdy。



2.将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法：

①第二型曲面积分P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy可化为三个第二型



曲面积分来计算：I1P(x,y,z)dydz,I

2Q(x,y,z)dzdx,I3R(x,y,z)dxdy。 

这就必须把曲面分别投影到yOz、zOx、xOy面上，再分别按照前侧为正后侧为负、右侧为正左侧为负、上侧为正下侧为负的规则再次分解。这样一来就需要六个式子来计算一个第二型曲面积分，运算量相当大且容易出错。

例：.计算下列闭曲面上的曲面积分(积分沿区域 之边界曲面  的外侧)：

xzdydz(x3y3)dzdx(x3y3)dxdy，其中

(x,y,z)|x2y21,x0,y0,0z1; 

解：在曲面上x0,y0,z0及z1部分的S上xzdydz

S0，所以

xzdydz

Dyz



zydydzzdz

2



3

11

y2dy



8

.

在曲面上x0,z0及z1部分的S上

x

S

z3dzdx0，所以







3

xydzdxxdzdxx1x2

DxzDxz

3

3





3



3

2dzdx



3

. 16

在曲面上x0,y0及x2y21部分的S上

x

S

3

y3dxdy0，所以



x



3

y3dxdy

5. 16



Dxy

x

3

y3dxdy



Dxy

x

3

y3dxdy0，



 原式 

②先将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分：

AdS



(PcosQcosRcos)dS



cos

zx

22

zxzy

,cos

zy

22

zxzy

,cos

1

22

zxzy

再将第一型曲面积分转化为二重积分： 若在xOy面：





fx,y,zdS

Dxy



22

x,yzyx,ydxdy fx,y,zx,yzx

yOz，xOz面上以此类推。

最后利用二重积分计算得出结果。

较第一种方法，此方法更加灵活多变，在计算中可以省很多力气。 例：计算曲面积分：



S

z(x2y2)(dydzdxdz)，其中 S 为球面 x2y2z2R2

在第一、四卦限(x0，z0)的部分，积分沿S的上侧; 解：S的单位正法向为

xyzn,,

222

x2y2z2x2y2z2xyz



01

x,y,z.

R



22

dydzdxdzzxyS



12222

zxy,zxy,0x,y,zdS RS







1

zx2y2xydS. RS



z

R2x2y2，zx

xRxyR

2

2

2

，zy

yRxy

2

2

2

.

22

dSzxzydxdy

Rxy

222

dxdy.

原式

1R

R2x2y2x2y2xydxdy RDxyR2x2y2





2d

2

R

2R5

. cossind5

3

总结：

利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算,避免了传统计算方法对曲面侧的判定，其显著优点是物理意义明确,计算过程简单,适用于所有的第二型曲面积分的计算。但是，计算时要不断地总结，学会根据题型的变化来选择方法，寻求更加简便的方法，不能一味的追求某一种。

而且，高等数学这门科学是博大精深的，要不断的学习研究才能领悟得更多。就自身而言，要抱着谦虚谨慎的态度，努力钻研高数，希望能够参透高等数学的一角。

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