导数的定义，导数的定义式

2017-02-23

导数的定义：

如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f'(x)

如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f'(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。

导数的定义式：

1、应用

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

2、意义

(1)斜线斜率变化的速度

(2)函数的凹凸性。

二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。

几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

导数的分类：

一、基本函数的导函数

C'=0(C为常数)

(x^n)'=nx^(n-1) (n∈R)

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(e^x)'=e^x

(a^x)'=(a^x)*lna(a>0且a≠1)

[logax)]' = 1/x*(logae)(a>0且a≠1)

[lnx]'= 1/x

二、和差积商函数的导函数

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)

[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]

三、复合函数的导函数

设 y=u(t) ，t=v(x)，则 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x)

例：y = t^2 ，t = sinx ，则y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x一般定义

设函数在点x。的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量Δx(点仍在该邻域内)时，相应地函数取得增量Δy;如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点x。处的导数，记为，即，也可记作f′(x)〡x=x.，或f′(x.)。

若将一点扩展成函数()在其定义域包含的某开区间内每一个点，那么函数()在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着()的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数()的导函数，记作：'或者f′(x)。

导函数的定义表达式为：

值得注意的是，导数是一个数，是指函数()在点0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

几何意义

1.代表函数上某一点在该点处切线的斜率。

如右图所示，设0为曲线上的一个定点，为曲线上的一个动点。当沿曲线逐渐趋向于点0时，并且割线0的极限位置0存在，则称0为曲线在0处的切线。

若曲线为一函数 = ()的图像，那么割线0的斜率为：

当0处的切线0，即0的极限位置存在时，此时，，则0的斜率tanα为：

上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则'(0) = tanα，故导数的几何意义即曲线 = ()在点0(0,(0))处切线的斜率。

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