高考文科数学数列专题复习题及答案
考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。下面是小编为大家整理的高考文科数学数列专题复习题，希望对大家有所帮助!
高考文科数学数列专题复习习题及答案解析
专题三 数列
第1讲 等差、等比数列的基本问题
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1等于 ( ).
A.13 B.-13
C.19 D.-19
解析 设等比数列{an}的公比为q，由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1，即a3=9a1，q2=9，又a5=a1q4=9，所以a1=19.
答案 C
2.在等差数列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10等于 ( ).
A.9 B.10
C.11 D.12
解析 设等差数列{an}的公差为d，则有(a4+a5)-(a2+a3)=4d=2，所以d=12.又(a9+a10)-(a4+a5)=10d=5，所以a9+a10=(a4+a5)+5=11.
答案 C
3.在正项等比数列{an}中，3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2013+a2014a2011+a2012等于 ( ).
A.3或-1 B.9或1
C.1 D.9
解析 依题意，有3a1+2a2=a3，即3a1+2a1q=a1q2，解得q=3，q=-1(舍去)，a2013+a2014a2011+a2012=a1q2012+a1q2013a1q2010+a1q2011=q2+q31+q=9.
答案 D
4.(2014•郑州模拟)在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2-4x+3=0的两根，则a6的值是 ( ).
A.3 B.-3
C.±3 D.±3
解析 依题意得，a4+a8=4，a4a8=3，故a4>0，a8>0，因此a6>0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a6=a4a8=3.
答案 A
5.(2014•济南模拟)在等差数列{an}中，a1=-2 014，其前n项和为Sn，若S1212-S1010=2，则S2 014的值等于 ( ).
A.-2 011 B.-2 012
C.-2 014 D.-2 013
解析 根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11=a1=-2 014，公差d=1，故S2 0142 014=-2 014+(2 014-1)×1=-1，所以S2 014=-2 014.
答案 C
6.(2013•辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列;p2：数列{nan}是递增数列;
p3：数列ann是递增数列;p4：数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为 ( ).
A.p1，p2 B.p3，p4
C.p2，p3 D.p1，p4
解析 设an=a1+(n-1)d=dn+a1-d，它是递增数列，所以p1为真命题;若an=3n-12，则满足已知，但nan=3n2-12n并非递增数列，所以p2为假命题;若an=n+1，则满足已知，但ann=1+1n是递减数列，所以p3为假命题;设an+3nd=4dn+a1-d，它是递增数列，所以p4为真命题.
答案 D
7.(2013•新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m等于 ( ).
A.3 B.4
C.5 D.6
解析 由Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，得am=2，am+1=3，所以d=1，
因为Sm=0，故ma1+mm-12d=0，故a1=-m-12，
因为am+am+1=5，
故am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5，即m=5.
答案 C
二、填空题
8.(2013•新课标全国Ⅰ卷)若数列{an}的前n项和为Sn=23an+13，则数列{an}的通项公式是an=________.
解析 当n=1时，a1=1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=23an-23an-1，所以anan-1=-2，∴{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=(-2)n-1.
答案 (-2)n-1
9.(2013•北京卷)若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=________;前n项和Sn=________.
解析 由题意q=a3+a5a2+a4=2，又a2+a4=20，故a1q+a1q3=20，解得a1=2，所以Sn=2n+1-2.
答案 2 2n+1-2
10.(2014•新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an+1=11-an，a8=2，则a1=________.
解析 先求出数列的周期，再进一步求解首项，
∵an+1=11-an，
∴an+1=11-an=11-11-an-1=1-an-11-an-1-1
=1-an-1-an-1=1-1an-1
=1-111-an-2=1-(1-an-2)=an-2，
∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.
∴a8=a3×2+2=a2=2.
而a2=11-a1，∴a1=12.
答案 12
11.设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1且a1，a3，a6成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn=________.
解析 设公差为d，由a1，a3，a6成等比数列，可得(1+2d)2=1×(1+5d)，解得d=14，所以Sn=n+nn-12×14=18n2+78n.
答案 18n2+78n
12.(2014•天津卷)设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________.
解析 根据等差数列的前n项和公式求出S1，S2，S4的表达式，然后利用等比数列的性质求解.
等差数列{an}的前n项和为Sn=na1+nn-12d，
所以S1，S2，S4分别为a1,2a1-1,4a1-6.
因为S1，S2，S4成等比数列，
所以(2a1-1)2=a1•(4a1-6)，解方程得a1=-12.
答案 -12
三、解答题
13.(2014•北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d=a4-a13=12-33=3，
所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2，…).
设等比数列{bn-an}的公比为q，由题意得
q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8，解得q=2.
所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.
从而bn=3n+2n-1(n=1,2，…).
(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2，…).
数列{3n}的前n项和为32n(n+1)，数列{2n-1}的前n项和为1-2n1-2=2n-1.
所以，数列{bn}的前n项和为32n(n+1)+2n-1.
14.(2013•浙江卷)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d，an;
(2)若d<0，求|a1|+|a2|+…+|an|.
解 (1)由题意得5a3•a1=(2a2+2)2，即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.
所以an=-n+11，n∈N*或an=4n+6，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d<0，由(1)得d=-1，an=-n+11.
当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=Sn=-12n2+212n.
当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=-Sn+2S11=12n2-212n+110.
综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=-12n2+212n，n≤11，12n2-212n+110，n≥12.
15.(2014•杭州模拟)已知数列{an}是首项为133，公比为133的等比数列，设bn+15log3an=t，常数t∈N*.
(1)求证：{bn}为等差数列;
(2)设数列{cn}满足cn=anbn，是否存在正整数k，使ck，ck+1，ck+2按某种次序排列后成等比数列?若存在，求k，t的值;若不存在，请说明理由.
(1)证明 an=3-n3，bn+1-bn=-15log3an+1an=5，
∴{bn}是首项为b1=t+5，公差为5的等差数列.
(2)解 cn=(5n+t) •3-n3，
则ck=(5k+t)•3-k3，
令5k+t=x(x>0)，则ck=x•3-k3，ck+1=(x+5)•3-k+13，ck+2=(x+10)•3-k+23.
①若c2k=ck+1ck+2，则
x•3-k32=(x+5)•3-k+13•(x+10)•3-k+23.
化简得2x2-15x-50=0，解得x=10，x=-52(舍去);
进而求得k=1，t=5;
②若c2k+1=ckck+2，
同理可得(x+5)2=x(x+10)，
显然无解;
③若c2k+2=ckck+1，同理可得13(x+10)2=x(x+5)，
方程无整数根.
综上所述，存在k=1，t=5适合题意.