数学里什么是复数

复数的四则运算规定为：加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;减法法则：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;乘法法则：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;除法法则：(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i.

加法法则

复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

即

乘法法则

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i²= -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

即

除法法则

复数除法定义：满足 的复数 叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，

即

开方法则

若z^n=r(cosθ+isinθ)，则

z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0，1，2，3……n-1)

运算律

加法交换律：z1+z2=z2+z1

乘法交换律：z1*z2=z2*z1

加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

乘法结合律：(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)

分配律：z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3

i的乘方法则

i^(4n+1)=i, i^(4n+2)=-1, i^(4n+3)=-i, i^4n=1(其中n∈Z)

棣莫佛定理

对于复数z=r(cosθ+isinθ)，有z的n次幂

z^n=(r^n)*[cos(nθ)+isin(nθ)] (其中n是正整数)

复数三角形式

设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)](在复数平面内为模相乘，角相加。)

z1÷z2=(r1÷r2)[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](在复数平面内为模相除，角相减。)

复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行(不包括纯虚数集)

一元n次复系数方程总有n个根(重根按重数计);复数不能建立大小顺序。