济南市九年级数学上册期末试卷

在经历了九年级一学期的努力奋战，检验学习成果的时刻就要到了，下面是小编为大家带来的关于济南市九年级数学上册期末试卷，希望会给大家带来帮助。

济南市九年级数学上册期末试卷：

一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知∠A为锐角，且sinA= ，那么∠A等于( )

A.15° B.30° C.45° D.60°

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】根据特殊角的三角函数值求解.

【解答】解：∵sinA= ，∠A为锐角，

∴∠A=30°.

故选B.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

2.有一种圆柱体茶叶筒如图所示，则它的主视图是( )

A. B. C. D.

【考点】简单组合体的三视图.

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【解答】解：主视图是从正面看，茶叶盒可以看作是一个圆柱体，圆柱从正面看是长方形.

故选：D.

【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

3.在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是( )

A.8 B.12 C.16 D.20

【考点】相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.

【分析】由条件可以知道DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质就可以求出 ，再根据相似三角形的性质就可以得出结论.

【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC， ，

∴△ADE∽△ABC，

∴ ，

∵△ADE的面积为4，

∴ ，

∴S△ABC=16.

故选：C.

【点评】本题考查中位线的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明△ADE∽△ABC是解答本题的关键.

4.下列一元二次方程没有实数根的是( )

A.x2﹣9=0 B.x2﹣x﹣1=0 C.﹣x2+3x﹣ =0 D.x2+x+1=0

【考点】根的判别式.

【分析】分别求出各个一元二次方程的根的判别式，再作出判断即可.

【解答】解：A、x2﹣9=0有两个相等的根，此选项错误;

B、x2﹣x﹣1=0，△=5，方程有两个不相等的实数根，此选项错误;

C、﹣x2+3x﹣ =0，△=9﹣4×(﹣1)×(﹣ )=0，方程有两个相等的实数根，此选项错误;

D、x2+x+1=0，△=1﹣4=﹣3<0，方程没有实数根，此选项正确;

故选D.

【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.

5.已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+3x+k2﹣1=0有一根为0，则k=( )

A.1 B.﹣1 C.±1 D.0

【考点】一元二次方程的解;一元二次方程的定义.

【专题】方程思想.

【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立;将x=0代入原方程即可求得k的值.

【解答】解：把x=0代入一元二次方程(k﹣1)x2+3x+k2﹣1=0，

得k2﹣1=0，

解得k=﹣1或1;

又k﹣1≠0，

即k≠1;

所以k=﹣1.

故选B.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零.

6.已知粉笔盒里有4支红色粉笔和n支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是 ，则n的值是( )

A.4 B.6 C.8 D.10

【考点】概率公式.

【专题】计算题.

【分析】根据红色粉笔的支数除以粉笔的总数即为取出红色粉笔的概率即可算出n的值.

【解答】解：由题意得： = ，

解得：n=6，

故选B.

【点评】考查概率公式的应用;用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

7.反比例函数 的图象上有两点M，N，那么图中阴影部分面积最大的是( )

A. B. C. D.

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，分别计算出各个选项中阴影部分的面积，比较即可.

【解答】解：图A中阴影部分面积为2× xy=3，

图B中阴影部分面积为2× xy=3，

图C中阴影部分面积为3×1+ ×(1+3)×2﹣3=4，

图D中阴影部分面积为 ×1×6=3，

故图C中阴影部分面积最大.

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.

8.抛物线y=﹣(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是( )

A.(﹣2，1) B.(﹣2，﹣1) C.(2，1) D.(2，﹣1)

【考点】二次函数的性质.

【分析】二次函数表达式中的顶点式是：y=a(x﹣h)2+k(a≠0，且a，h，k是常数)，它的对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k).

【解答】解：抛物线y=﹣(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1).

故选D.

【点评】本题考查了二次函数的性质，要求掌握顶点式中的对称轴及顶点坐标.

9.抛物线y=﹣2x2不具有的性质是( )

A.开口向下 B.对称轴是y轴

C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.函数有最小值

【考点】二次函数的性质.

【分析】根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、∵a=﹣2<0，∴此函数的图象开口向下，故本选项正确;

B、∵抛物线y=﹣2x2不的顶点在原点，∴对称轴是y轴，故本选项正确;

C、当x>时，抛物线在第四象限，y随x的增大而减小，故本选项正确;

D、∵此函数的图象开口向下，∴函数有最大值，故本选项错误.

故选D.

【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2(a≠0)的性质是解答此题的关键.

10.函数y=﹣x2﹣3的图象向上平移2个单位，再向左平移2个单位后，得到的函数是( )

A.y=﹣(x+2)2﹣1 B.y=﹣(x﹣2)2﹣1 C.y=﹣(x﹣2)2+1 D.y=﹣(x+2)2+1

【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可.

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y=﹣x2﹣3的图象向上平移2个单位得到y=﹣x2﹣3+2，

由“上加下减”的原则可知，将二次函y=﹣x2﹣3的图象向左平移2个单位可得到函数y=﹣(x+2)2﹣3+2=y=﹣(x+2)2﹣1，

故选：A.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键.

11.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是( )

A. B. C. D.

【考点】相似三角形的判定.

【专题】网格型.

【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可.

【解答】解：根据题意得：AB= = ，AC= ，BC=2，

∴AC：BC：AB= ：2： =1： ： ，

A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形与△ABC不相似;

B、三边之比为 ： ：3，图中的三角形与△ABC不相似;

C、三边之比为1： ： ，图中的三角形与△ABC相似;

D、三边之比为2： ： ，图中的三角形与△ABC不相似.

故选C.

【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键.

12.如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把0点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为( )

A.12个单位 B.10个单位 C.4个单位 D.15个单位

【考点】圆周角定理;勾股定理.

【分析】根据圆中的有关性质“90°的圆周角所对的弦是直径”.从而得到EF即可是直径，根据勾股定理计算即可.

【解答】解：连接EF，

∵OE⊥OF，

∴EF是直径，

∴EF= = = =10.

故选：B.

【点评】考查了圆中的有关性质：90°的圆周角所对的弦是直径.此性质是判断直径的一个有效方法，也是构造直角三角形的一个常用方法.

13.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是( )

A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.4 cm

【考点】垂径定理;相交弦定理.

【专题】压轴题.

【分析】利用垂径定理和相交弦定理求解.

【解答】解：利用垂径定理可知，DP=CP=3，

∵P是半径OB的中点.

∴AP=3BP，AB=4BP，

利用相交弦的定理可知：BP•3BP=3×3，

解得BP= ，

即AB=4 .

故选D.

【点评】本题的关键是利用垂径定理和相交弦定理求线段的长.

14.小明、小亮、小梅、小花四人共同探讨代数式x2﹣6x+10的值的情况.他们作了如下分工：小明负责找其值为1时的x的值，小亮负责找其值为0时的x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是( )

A.小明认为只有当x=3时，x2﹣6x+10的值为1

B.小亮认为找不到实数x，使x2﹣6x+10的值为0

C.小梅发现x2﹣6x+10的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值

D.小花发现当x取大于3的实数时，x2﹣6x+10的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值

【考点】二次函数的最值;一元二次方程的解.

【分析】根据函数的定义函数值随自变量的值的变化而变化，因此在二次函数中确定其最大值或最小值与给定的取值范围有关，所以正确分析题意解决问题.

【解答】解：A、小明认为只有当x=3时，x2﹣6x+10的值为1.此说法正确.∵x2﹣6x+10=1，解得：x=3，∴正确.

B、小亮认为找不到实数x，使x2﹣6x+10的值为0.此说法正确.∵方程x2﹣6x+10=0无解，∴正确.

C、小梅发现x2﹣6x+10的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值.此说法错误.∵函数y=x2﹣6x+10的开口向上，∴有最小值且最小值为1.

D、小花发现当x取大于3的实数时，x2﹣6x+10的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值.此说法正确.

故答案选C.

【点评】本题主要考查了二次函数的最值与一元二次方程的关系.

15.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y(cm2).运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是( )

A. B. C. D.

【考点】动点问题的函数图象.

【专题】压轴题;动点型.

【分析】当点N在AD上时，易得S△AMN的关系式;当点N在CD上时，高不变，但底边在增大，所以S△AMN的面积关系式为一个一次函数;当N在BC上时，表示出S△AMN的关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可.

【解答】解：当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN= ×x×3x= x2，

点N在CD上时，即1≤x≤2，S△AMN= ×x×3= x，y随x的增大而增大，所以排除A、D;

当N在BC上时，即2≤x≤3，S△AMN= ×x×(9﹣3x)=﹣ x2+ x，开口方向向下.

故选：B.

【点评】考查动点问题的函数图象问题;根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题.每小题3分，共18分).

16.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 4：9 .

【考点】相似三角形的性质.

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可.

【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，

∴这两个相似三角形的相似比为2：3，

∴它们的面积比是4：9.

故答案为：4：9.

【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键.

17.若 ，则 的值为 .

【考点】比例的性质.

【分析】根据合比性质，可得答案.

【解答】解：由合比性质，得

= = .

故答案为： .

【点评】本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键，合比性质： = ⇒ = .

18.计算：2sin60°+tan45°= +1 .

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】根据特殊三角函数值，可得答案.

【解答】解：原式=2× +1

= +1，

故答案为： +1.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值.

19.如图，∠1的正切值等于 .

【考点】锐角三角函数的定义;圆周角定理.

【专题】压轴题.

【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题.

【解答】解：根据圆周角的性质可得：∠1=∠2.

∵tan∠2= ，

∴∠1的正切值等于 .

故答案为： .

【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.

20.如图，点A、B、C在⊙O上，∠C=115°，则∠AOB= 130° .

【考点】圆内接四边形的性质;圆周角定理.

【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠D的度数，根据圆周角定理得到答案.

【解答】解：在优弧 上取点D，连接AD、BD，

∵∠C=115°，

∴∠D=65°，

∴∠AOB=2∠D=130°，

故答案为：130°.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

21.如图，是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，

给出下列命题：

①abc<0;②b>2a;③a+b+c=0

④ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1;

⑤8a+c>0.其中正确的命题是 ①③④⑤(答对一个得1分，答错一个倒扣一分) .

【考点】二次函数图象与系数的关系;二次函数的性质;抛物线与x轴的交点;二次函数与不等式(组).

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号;然后结合对称轴判断b的符号;根据抛物线的对称轴、抛物线与x的一个交点可以推知与x的另一个交点的坐标;由二次函数图象上点的坐标特征可以推知x=1满足该抛物线的解析式.

【解答】解：①根据抛物线是开口方向向上可以判定a>0;

∵对称轴x=﹣ =﹣1，

∴b=2a>0;

∵该抛物线与y轴交于负半轴，

∴c<0，

∴abc<0;

故本选项正确;

②由①知，b=2a;

故本选项错误;

③∵该抛物线与x轴交于点(1，0)，

∴x=1满足该抛物线方程，

∴a+b+c=0;

故本选项正确;

④设该抛物线与x轴交于点(x，0))，

则由对称轴x=﹣1，得 =﹣1，

解得，x=﹣3;

∴ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1;

故本选项正确;

⑤根据图示知，当x=﹣4时，y>0，

∴16a﹣4b+c>0，

由①知，b=2a，

∴8a+c>0;

故本选项正确;

综合①②③④⑤，上述正确的①③④⑤;

故答案是：①③④⑤.

【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

三、解答题(本题共7小题，共57分，解答应写出文字说明或演算步骤)

22.(1)解方程：x2﹣2x=3

(2)求二次函数y=﹣2x2+4x+3的对称轴及顶点坐标.

【考点】解一元二次方程-因式分解法;二次函数的性质.

【专题】计算题.

【分析】(1)先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程;

(2)利用配方法把一般式配成顶点式y=﹣2(x﹣1)2+5，然后根据二次函数的性质求解.

【解答】解：(1)x2﹣2x﹣3=0，

(x﹣3)(x+1)=0，

x﹣3=0或x+1=0，

所以x1=3，x2=﹣1;

(2)y=﹣2x2+4x+3=﹣2(x﹣1)2+5，

所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标(1，5).

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了二次函数的性质.

23.已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点.求证：MC=NC.

【考点】圆心角、弧、弦的关系;全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论.

【解答】证明：∵弧AC和弧BC相等，

∴∠AOC=∠BOC，

又∵OA=OB M、N分别是OA、OB的中点

∴OM=ON，

在△MOC和△NOC中， ，

∴△MOC≌△NOC(SAS)，

∴MC=NC.

【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.

24.已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.

(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;

(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.

【考点】平行投影;相似三角形的性质;相似三角形的判定.

【专题】计算题;作图题.

【分析】(1)根据投影的定义，作出投影即可;

(2)根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例;构造比例关系 .计算可得DE=10(m).

【解答】解：(1)连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影.

(2)∵AC∥DF，

∴∠ACB=∠DFE.

∵∠ABC=∠DEF=90°

∴△ABC∽△DEF.

∴ ，

∴

∴DE=10(m).

说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可.

【点评】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例.要求学生通过投影的知识并结合图形解题.

25.父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同.

(1)求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率;

(2)若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大?请说明理由.

【考点】列表法与树状图法.

【分析】(1)首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案;

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大.

【解答】解：(1)分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，

画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，

∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为： = ;

(2)会增大，

理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，

∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为： = > ;

∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大.

【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

26.已知反比例函数y= (m为常数)的图象经过点A(﹣1，6).

(1)求m的值;

(2)如图，过点A作直线AC与函数y= 的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标.

【考点】反比例函数综合题.

【专题】计算题.

【分析】(1)将A点坐标代入反比例函数解析式即可得到一个关于m的一元一次方程，求出m的值;

(2)分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，则△CBD∽△CAE，运用相似三角形知识求出CD的长即可求出点C的横坐标.

【解答】解：(1)∵图象过点A(﹣1，6)，

∴ =6，

解得m=2.

故m的值为2;

(2)分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，

由题意得，AE=6，OE=1，即A(﹣1，6)，

∵BD⊥x轴，AE⊥x轴，

∴AE∥BD，

∴△CBD∽△CAE，

∴ = ，

∵AB=2BC，

∴ = ，

∴ = ，

∴BD=2.

即点B的纵坐标为2.

当y=2时，x=﹣3，即B(﹣3，2)，

设直线AB解析式为：y=kx+b，

把A和B代入得： ，

解得 ，

∴直线AB解析式为y=2x+8，令y=0，解得x=﹣4，

∴C(﹣4，0).

【点评】由于今年来各地2016届中考题不断降低难度，2016届中考考查知识点有向低年级平移的趋势，反比例函数出现在解答题中的频数越来约多.

27.进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气.商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包.若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务.

(1)试确定周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式;

(2)试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围;

(3)当售价x(元/包)定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?

【考点】二次函数的应用.

【专题】销售问题.

【分析】(1)根据题意可以直接写出y与x之间的函数关系式;

(2)根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务可以确定x的取值范围;

(3)根据第(2)问中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题.

【解答】解：(1)由题意可得，

y=200﹣(x﹣30)×5=﹣5x+350

即周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式是：y=﹣5x+350;

(2)由题意可得，

w=(x﹣20)×(﹣5x+350)=﹣5x2+450x﹣7000(30≤x≤40)，

即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式是：w=﹣5x2+450x﹣7000(30≤x≤40);

(3)∵w=﹣5x2+450x﹣7000的二次项系数﹣5<0，顶点的横坐标为：x= ，30≤x≤40

∴当x<45时，w随x的增大而增大，

∴x=40时，w取得最大值，w=﹣5×402+450×40﹣7000=3000，

即当售价x(元/包)定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大，最大利润是3000元.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以写出相应的函数解析式，并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值.

28.如图，在平面直角坐标系中，以点C(1，1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在优弧 上.

(1)求出A，B两点的坐标;

(2)试确定经过A、B且以点P为顶点的抛物线解析式;

(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分?若存在，求出点D的坐标;若不存在，请说明理由.

【考点】圆的综合题.

【分析】(1)根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标.

(2)根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为(1，3).然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式.根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式.

(3)如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形.因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为(0，2).然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点.

【解答】解：(1)如图，作CH⊥AB于点H，连接OA，OB，

∵CH=1，半径CB=2

∴HB= ，

故A(1﹣ ，0)，B(1+ ，0).

(2)由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1，3)，

设抛物线解析式y=a(x﹣1)2+3，

把点B(1+ ，0)代入上式，解得a=﹣1;

∴y=﹣x2+2x+2.

(3)假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形

∴PC∥OD且PC=OD.

∵PC∥y轴，

∴点D在y轴上.

又∵PC=2，

∴OD=2，即D(0，2).

又D(0，2)满足y=﹣x2+2x+2，

∴点D在抛物线上

∴存在D(0，2)使线段OP与CD互相平分.

【点评】本题是综合性较强的题型，所给的信息比较多，解决问题所需的知识点也较多，解题时必须抓住问题的关键点.二次函数和圆的综合，要求对圆和二次函数的性质在掌握的基础上灵活讨论运动变化，对解题技巧和解题能力的要求上升到一个更高的台阶.要求学生解题具有条理，挖出题中所隐含的条件，会分析问题，找出解决问题的突破口.