文科数学概率高考题（含答案）

2017-02-22

文科数学概率高考题及答案

13.[2014•新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.

13.13

13.[2014•全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.

13.23

14.[2014•浙江卷] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________.

14.13

19.[2014•陕西卷] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000

车辆数(辆) 500 130 100 150 120

(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率;

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

19.解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得

P(A)=1501000=0.15，P(B)=1201000=0.12.

由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为

P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100=0.24.由频率估计概率得P(C)=0.24.

16.、[2014•四川卷] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;

(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.

16.解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：

(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种.

设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，

则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，

所以P(A)=327=19.

因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.

(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，

则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种.

所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.

因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.

K2 古典概型

20.，[2014•福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：

行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)

A 25% 8000

B 30% 4000

C 15% 6000

D 10% 3000

E 20% 10 000

(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;

(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.

20.解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为

8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10 000×0.20aa=

6400(美元).

因为6400∈[4085，12 616)，

所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.

(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个.

设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”，

则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个.

所以所求概率为P(M)=310.

12.[2014•广东卷] 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________.

12.25

5.[2014•湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )

A.p1

C.p1

5.C

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

17.、[2014•湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：

(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).

其中a，a分别表示甲组研发成功和失败;b，b分别表示乙组研发成功和失败.

(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平.

(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.

17.解：(1)甲组研发新产品的成绩为

1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，

其平均数为x甲=1015=23，

方差为s2甲=1151-232×10+0-232×5=29.

乙组研发新产品的成绩为

1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，

其平均数为x乙=915=35，

方差为s2乙=1151-352×9+0-352×6=625.

因为x甲>x乙，s2甲

(2)记E={恰有一组研发成功}.

在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，

共7个，故事件E发生的频率为715.

将频率视为概率，即得所求概率为P(E)=715.

4.[2014•江苏卷] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________.

4.13

3.[2014•江西卷] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )

A.118 B.19 C.16 D.112

3.B

21.、、[2014•江西卷] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)=15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率.

(1)求p(100);

(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式;

(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)=f(n)-g(n)，S={n|h(n)=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值.

21.解：(1)当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)=11192.

(2)F(n)=n，1≤n≤9，2n-9，10≤n≤99，3n-108，100≤n≤999，4n-1107，1000≤n≤2014.

(3)当n=b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)=0;

当n=10k+b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)=k;

当n=100时，g(n)=11，即g(n)=

0，1≤n≤9，k，n=10k+b，11，n=100.1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，

同理有f(n)=

0，1≤n≤8，k，n=10k+b-1，1≤k≤8，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，n-80，89≤n≤98，20，n=99，100.

由h(n)=f(n)-g(n)=1，可知n=9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，

所以当n≤100时，S={9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}.

当n=9时，p(9)=0.

当n=90时，p(90)=g(90)F(90)=9171=119.

当n=10k+9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9，由y=k20k+9关于k单调递增，故当n=10k+9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)=8169.

又8169<119，所以当n∈S时，p(n)的最大值为119.

18.、[2014•辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

喜欢甜品不喜欢甜品合计

南方学生 60 20 80

北方学生 10 10 20

合计 70 30 100

(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;

(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

附：χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2，

P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010

k 2.706 3.841 6.635

18.解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762.

由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.

(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，

其中ai表示喜欢甜品的学生，i=1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j=1，2，3.

Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的.

用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A={(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}.

事件A由7个基本事件组成，因而P(A)=710.

16.，[2014•山东卷] 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区 A B C

数量 50 150 100

(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量;

(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

16.解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是

650+150+100=150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150=1，150×150=3，100×150=2.

所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.

(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A;B1，B2，B3;C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：

{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.

每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.

记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，

则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.

所以P(D)=415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.

6.[2014•陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )

A.15 B.25 C.35 D.45

6.B

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;

(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.

16.解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：

设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，

则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，

所以P(A)=327=19.

因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.

(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，

则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种.

所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.

因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.

15.、[2014•天津卷] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

一年级二年级三年级

男同学 A B C

女同学 X Y Z

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).

(1)用表中字母列举出所有可能的结果;

(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.

15.解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种.

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种.

因此，事件M发生的概率P(M)=615=25.

17.、[2014•重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图13所示.

图13

(1)求频率分布直方图中a的值;

(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数;

(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率.

17.解：(1)据直方图知组距为10，由

(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，

解得a=1200=0.005.

(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2.

成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.

(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).

其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).

故所求概率为P=310.

K3 几何概型

13.[2014•福建卷] 如图15所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.

图15

13.0.18

5.[2014•湖南卷] 在区间[-2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )

A.45 B.35

C.25 D.15

5.B

6.[2014•辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图11所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )

图11

A.π2 B.π4

C.π6 D.π8

6.B

15.[2014•重庆卷] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答)

15.932

K4 互斥事件有一个发生的概率

K5 相互对立事件同时发生的概率

20.、[2014•全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;

(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.

20.解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0，1，2.

B表示事件：甲需使用设备.

C表示事件：丁需使用设备.

D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.

E表示事件：同一工作日4人需使用设备.

F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.

(1)因为P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=Ci2×0.52，i=0，1，2，

所以P(D)=P(A1•B•C+A2•B+A2•B•C)=P(A1•B•C)+P(A2•B)+P(A2•B•C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.

(2)由(1)知，若k=2，则P(F)=0.31>0.1，

P(E)=P(B•C•A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.

若k=3，则P(F)=0.06<0.1，

所以k的最小值为3.

K6 离散型随机变量及其分布列

22.[2014•江苏卷] 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.

(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P;

(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X).

22.解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P=C24+C23+C22C29=6+3+136=518.

(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.

{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X=4)=C44C49=1126;

{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X=3)=C34C15+C33C16C49=20+6126=1363;于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-1363-1126=1114.

所以随机变量X的概率分布如下表：

X 2 3 4

P 1114

1363

1126

因此随机变量X的数学期望

E(X)=2×1114+3×1363+4×1126=209.

K7 条件概率与事件的独立性

K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布