高考总复习数学教案空间几何体的三视图知识点

2017-06-14

高考数学空间几何体的三视图知识点(一)

例1：(改编自《人教版普通高中课程标准实验教科书数学②》P35。3)

已知几何体的三视图如下，画出它们的直观图，并根据所标数据计算该几何体的表面积与体积。

解：(1)这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的组合体。

由正视图可知：圆柱的高为4，底面直径为1;圆锥的高为2，底面直径为3.

于是：该几何体的表面积为

圆柱+S圆锥

。

该几何体的体积为

V=V圆柱+V圆锥=(

。

(2)这个几何体为棱台。棱台的底面为正方形。下底边长为2，上底边长为4，高为2.

要注意正视图中等腰梯形的腰正是棱台左、右两侧面的高。侧视图中等腰梯形的腰正是棱台前、后两侧面的高。

于是该几何体的表面积S=4+16+4[

]=20+12

它的体积为

。

点评：解决此类问题的关键在于了解三视图与几何体之间的关系。能够利用三视图判断出几何体的形状与关键的尺寸，从而对几何体进行量化研究。

学生容易出错的地方是对棱台正视图的判断，他们容易认为正视图就是棱台的前侧面。这是空间想象能力还有所欠缺，未能准确理解三视图的表现。我们在教学中要把棱台与长方体的三视图加以比较，结合教具，通过比较分析，帮助学生形成正确的认识。

跟上面相类似的问题还有《人教版普通高中课程标准实验教科书数学②》第29页B组第1题。在这个问题中也涉及到了棱台的体积与表面积计算，读者不妨重新加以练习。

返观这几年的高考中有关三视图的考察，主要就是利用三视图判断几何结构，然后画出直观图，计算几何体的表面积或体积。这样出题体现了知识的综合性，但这个综合程度还仅局限在一章知识的范围内，没更大程度的综合。题目的难度有所上升，由容易题变为中等题。

在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为

点评：这是一个由正视图与俯视图推想侧视图的问题。它要求学生在所学的常见几何体中进行检索，从而找符合已知条件的几何模型进一步再找到俯视图。

首先从俯视图上大致可判断这个几何体是一个组合体，一部分为一个半旋转体，另一部分为三棱锥或三棱柱。再由正视图可判断，这个几何体应为锥体。于是可知它是由一个半圆锥与三棱锥组而成的几何体，从而判断其侧视图为D。

但也要注意到这样的推理只是一种合情推理，而非严格的逻辑推理，因为由正视图和俯视图是确定不了侧视图的。只是在中学生的认知范围内，他们能够猜想到的就是半圆锥和三棱锥的组合。而实际上侧视图为(A)的几何体也是存在的，它的前面一半也是一个三棱锥，而后面一半可理解为半圆柱与一个横放的三棱柱的交集体，当然这样的几何体对高中生来说很难想到，也无法描述。这样对此题的回答就造成了一定的思维困难，从而使此题的得分率偏低与此不无关系。

正视图为一个三角形的几何体可以是_____________。(写出三种)

【答案】棱锥，三棱柱，圆锥

点评：此题的解答相当简单，答案也多种多样。有的同学答三棱锥、四棱锥、五棱锥。有的同学答圆锥、三棱柱、三棱台。显然后者的思维更开阔，前者的思维就比较狭窄。但都是正确的。我想这样的结果也并不是出题者想要达到的目的。我们在努力能体现学生个性化特征的试题与考试方式，但面对标准考试的方式，我们的努力却总是失败。