什么是旋转矩阵旋转矩阵的性质

2016-10-31

什么是旋转矩阵

旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。

旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。其最古老的数学命题是寇克曼女生问题：

某教员打算这样安排她班上的十五名女生散步：散步时三女生为一组，共五组。问能否在一周内每日安排一次散步，使得每两名女生在一周内一道散步恰好一次?寇克曼于1847年提出了该问题，过了100多年后，对于一般形式的寇克曼问题的存在性才彻底解决。用1~15这15个数字分别代表15个女生，其中的一组符合要求的分组方法是：

星期日：(1，2，3)，(4，8，12)，(5，10，15)，(6，11，13)，(7，9，14)

星期一：(1，4，5)，(2，8，10)，(3，13，14)，(6，9，15)，(7，11，12)

星期二：(1，6，7)，(2，9，11)，(3，12，15)，(4，10，14)，(5，8，13)

星期三：(1，8，9)，(2，12，14)，(3，5，6)，(4，11，15)，(7，10，13)

星期四：(1，10，11)，(2，13，15)，(3，4，7)，(5，9，12)，(6，8，14)

星期五：(1，12，13)，(2，4，6)，(3，9，10)，(5，11，14)，(7，8，15)

星期六：(1，14，15)，(2，5，7)，(3，8，11)，(4，9，13)，(6，10，12)

旋转矩阵的性质

设是任何维的一般旋转矩阵:

两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变: 从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵: 这里的是单位矩阵。一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。正交矩阵的行列式是 ±1;如果行列式是 −1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成的一个正交基，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵 A的指数: 这里的指数是以泰勒级数定义的而是以矩阵乘法定义的。A 矩阵叫做旋转的“生成元”。旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。

旋转矩阵的二维空间

在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 θ 定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转θ 的矩阵是:

该矩阵的逆矩阵为：

表示较原来反方向旋转θ ，也即顺时针旋转θ

顺时针旋转就直接计算-θ 即可。

旋转矩阵的三维空间

在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。

3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个3 维旋转矩阵。

生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 θx 是 roll 角。绕 y-轴的旋转定义为: 这里的 θy 是 pitch 角。绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 θz 是 yaw 角。

在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 γ, α, 和 β;但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号 θx, θy 和 θz。

任何 3 维旋转矩阵都可以用这三个角 θx, θy, 和 θz 来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。

是在中的旋转矩阵在中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。更高维的情况可参见 Givens旋转。

角-轴表示和四元数表示

在三维中，旋转可以通过单一的旋转角 θ 和所围绕的单位向量方向来定义。

这个旋转可以简单的以生成元来表达:

在运算于向量 r 上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式：

角-轴表示密切关联于四元数表示。依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数 Q:

这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。

欧拉角表示(Euler角)

在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角 (α,β,γ) 来定义。有一些可能的欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 "z-x-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为:

进行乘法运算生成:

因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转，它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来。

对称保持 SVD 表示

对旋转轴 q 和旋转角 θ，旋转矩阵

这里的的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是 θ 度 Givens 旋转。

什么是旋转矩阵旋转矩阵的性质

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