湘教版八年级上册数学期末试卷

2017-06-01

湘教版八年级上册数学期末试题

一、选择题：(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)以下各小题，每小题都给出A、B、C、D四个选项，但其中只有一个选项符合题目的要求，请把它选出来，并把它的代号填在相应的题目后的括号内.若选错、多选、不选均计0分.

1.下列各数的立方根是﹣2的数是( )

A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8

2.下列运算结果为a6的是( )

A.a2+a3 B.a2•a3 C.(﹣a2)3 D.a8÷a2

3.对某班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，如果频数分布直方图中80.5～90.5分这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验成绩在80.5～90.5分之间的频率是( )

A.18 B.0.4 C.0.3 D.0.35

4.下列多项式中能用公式进行因式分解的是( )

A.x2+4 B.x2+2x+4 C.x2﹣x+ D.x2﹣4y

5.若等腰三角形的有一个角为100°，则它一腰上的高与底边的夹角是( )

A.50° B.40° C.10° D.80°

6.下列真命题中，逆命题也是真命题的是( )

A.全等三角形的对应角都相等

B.如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等

C.对顶角相等

D.等边三角形每一个都等于60°

7.△ABC的三边为a、b、c，且(a+b)(a﹣b)=c2，则( )

A.△ABC是锐角三角形 B.c边的对角是直角

C.△ABC是钝角三角形 D.a边的对角是直角

8.如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a﹣1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是( )

A.2cm2 B.2acm2 C.4acm2 D.(a2﹣1)cm2

9.如图，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于点D.有下列结论：①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上;④点C在AB的中垂线上.以上结论错误的有( )个.

A.1 B.2 C.3 D.4

10.如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是( )

A.2m B.3m C.6m D.9m

二、填空题：(本大题共六个小题每个3分，共计18分)

11.请你在横线上写一个无理数__________.

12.到一个角的两边距离相等的点都在__________.

13.若5x=12，5y=6，则5x﹣2y=__________.

14.如果多项式2x2﹣3kx+1能分解因式，其结果是(2x+1)(x+1)，则k=__________.

15.某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是__________米2.

16.定义运算a★b=(1﹣a)b，下面给出了关于这种运算的四个结论：

①2★(﹣2)=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，则(a★a)+(b★b)=2ab

④若a★b=0，则a=1或b=0.

其中正确结论的序号是__________(填上你认为正确的所有结论的序号).

三、解答题(本大题共8个小题，共72分)解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.

17.计算下列各题

(1)(﹣2m+1)(2m+1)

(2)简便计算：2014×2016﹣20152

(3)[(x﹣2y)2+(x﹣2y)(x+2y)﹣2x(2x﹣y)]÷2x.

18.把下列多项式分解因式

(1)﹣a+a3b2

(2)(x﹣1)(x﹣3)+1.

19.如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求证：BC=DE.

20.为了解今年初二学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初二全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如图表：

成绩频数频率

优秀 45 b

良好 a 0.3

合格 105 0.35

不合格 60 c

请结合图表所给出的信息解答下列问题：

(1)该校初二学生共有多少人?

(2)求表中a，b，c的值，并补全条形统计图.

21..阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如图：

请你回答：

(1)作图第一步为什么要大于 AB的长?

(2)小芸的作图是否正确?请说明理由.

22.为了弘扬“社会主义核心价值观”，乐至县政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的距离分别是5米和米.

(1)求公益广告牌的高度AB;

(2)求∠BDC的度数.

23.仔细.观察下列各式及其展开式：

请你根据上式各项系数的规律，求出(a+b)9的展开式.

24.如图所示，四边形ABCD为矩形(对边相等，四个角是直角)，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，在BE上取一点F，使DF=EF=4.设AB=x，AD=y，求代数式的值.

25.如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE.

(1)填空：∠CAM=__________度;

(2)若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC;

(3)当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值?并说明理由.

湘教版八年级上册数学期末试卷参考答案

1.下列各数的立方根是﹣2的数是( )

A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8

【考点】立方根.

【专题】计算题;实数.

【分析】利用立方根定义计算即可得到结果.

【解答】解：立方根是﹣2的数是﹣8，

故选D

【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键.

2.下列运算结果为a6的是( )

A.a2+a3 B.a2•a3 C.(﹣a2)3 D.a8÷a2

【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.

【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及积的乘方和幂的乘方进行计算即可.

【解答】解：A、a3÷a2不能合并，故A错误;

B、a2•a3=a5，故B错误;

C、(﹣a2•)3=﹣a6，故C错误;

D、a8÷a2=a6，故D正确;

故选D.

【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方，是基础知识要熟练掌握.

A.18 B.0.4 C.0.3 D.0.35

【考点】频数(率)分布直方图;频数与频率.

【专题】计算题.

【分析】根据频率、频数的关系：频率= 求解即可.

【解答】解：成绩在80.5～90.5分之间的频率为 =0.3.

故本题选C.

【点评】本题考查频率、频数的关系：频率= .

4.下列多项式中能用公式进行因式分解的是( )

A.x2+4 B.x2+2x+4 C.x2﹣x+ D.x2﹣4y

【考点】因式分解-运用公式法.

【分析】A、两项平方项的符号都为正;B、为完全平方公式的话，中间项应为4x;C符合完全平方公式;D只有一项平方项.

【解答】解：A、不符合符号相反，错误;

B、不符合中间的那项为两底数积的2倍，错误;

C、符合完全平方公式，正确;

D、不符合两项平方项，错误.

故选C.

【点评】能否用公式法进行因式分解关键看是否符合相关公式的特点：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反;能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍.

5.若等腰三角形的有一个角为100°，则它一腰上的高与底边的夹角是( )

A.50° B.40° C.10° D.80°

【考点】等腰三角形的性质.

【分析】已知给出了等腰三角形的顶角为100°，要求腰上的高与底边的夹角可以根据等腰三角形的性质：等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半求解.

【解答】解：∵等腰三角形的有一个角为100°，

∴等腰三角形的顶角为100°

∴根据等腰三角形的性质：等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半;

∴高与底边的夹角为50°.

故选A.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，知道等腰三角形的一内角为100°，则顶角为100°，读懂题意，是解答本题的关键.

6.下列真命题中，逆命题也是真命题的是( )

A.全等三角形的对应角都相等

B.如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等

C.对顶角相等

D.等边三角形每一个都等于60°

【考点】命题与定理.

【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定方法、平方根的定义、对顶角的定义和等边三角形的判定方法判断四个逆命题的真假.

【解答】解：A、“全等三角形的对应角都相等”的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题，所以A选项错误;

B、“如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等”的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，此逆命题为假命题，所以B选项错误;

C、“对顶角相等”的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角为对顶角，此逆命题为假命题，所以C选项错误;

D、“等边三角形每一个都等于60°”的逆命题为等每一个都等于60°的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题，所以D选项正确.

故选D.

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.

7.△ABC的三边为a、b、c，且(a+b)(a﹣b)=c2，则( )

A.△ABC是锐角三角形 B.c边的对角是直角

C.△ABC是钝角三角形 D.a边的对角是直角

【考点】勾股定理的逆定理.

【专题】探究型.

【分析】先把等式(a+b)(a﹣b)=c2化为a2=b2+c2的形式，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可.

【解答】解：∵(a+b)(a﹣b)=c2，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形，a为斜边，

∴a边的对角是直角.

故选D.

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据题意把等式化为a2=b2+c2的形式是解答此题的关键.

8.如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a﹣1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是( )

A.2cm2 B.2acm2 C.4acm2 D.(a2﹣1)cm2

【考点】完全平方公式的几何背景;平方差公式的几何背景.

【专题】计算题.

【分析】根据题意得出矩形的面积是(a+1)2﹣(a﹣1)2，求出即可.

【解答】解：矩形ABCD的面积是S正方形EFGH﹣S正方形HQNM

=(a+1)2﹣(a﹣1)2，

=a2+2a+1﹣(a2﹣2a+1)，

=4a(cm2)，

故选C.

【点评】本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题型较好，难度不大.

A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.

【分析】根据垂直的定义得到∠AFC=∠AEB=90°，根据三角形的内角和得到∠B=∠C，由全等三角形的判定定理得到△ABE≌△ACF(ASA)，故①选项正确，由AE=AF，AC=AB，得BF=CE，于是得到△BDF≌△CDE，选项②正确，根据全等三角形的性质得到AE=AF，AC=AB，连接AD，证得Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，根据全等三角形的性质得到∠DAF=∠DAE，即点D在∠BAC的平分线上，选项③正确，而点F不一定是AB的中点，故④错误.

【解答】证明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，

∴∠AFC=∠AEB=90°，故在Rt△AEB中，∠B=90°﹣∠A，在Rt△AFC中∠C=90°﹣∠A，

∴∠B=∠C，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF(ASA)，

故①选项正确，

由AE=AF，AC=AB，得BF=CE，

在△BDF和△CDE中，

，

∴△BDF≌△CDE，选项②正确，

∵△ABE≌△ACF，

∴AE=AF，AC=AB，

连接AD，

在Rt△AFD和Rt△AED中，

，

∴Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，

∴∠DAF=∠DAE，即点D在∠BAC的平分线上，选项③正确，

而点F不一定是AB的中点，故④错误.

故选A.

【点评】本题主要考查了垂直定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，角平分线的判定，熟记三角形判定定理是解决问题的关键.

A.2m B.3m C.6m D.9m

【考点】三角形的内切圆与内心;勾股定理.

【专题】压轴题.

【分析】根据：△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即可求解.

【解答】解：在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m.

则AB= = =10.

∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r.

△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积

即： AC•BC= AB•r+ BC•r+ AC•r

即：6×8=10r+8r+6r

∴r= =2.

故O到三条支路的管道总长是2×3=6m.

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键.

二、填空题：(本大题共六个小题每个3分，共计18分)

11.请你在横线上写一个无理数 .

【考点】无理数.

【专题】开放型.

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.

【解答】解：无理数有 (π等，答案不唯一).

故答案是： .

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.

12.到一个角的两边距离相等的点都在这个角的平分线上.

【考点】角平分线的性质.

【分析】熟记角平分线的性质定理，容易填出：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

【解答】解：根据定义可知：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

【点评】此题主要考查学生对角平分线的性质定理识记情况，应熟记且能灵活应用这些性质是正确解答本题的关键.

13.若5x=12，5y=6，则5x﹣2y= .

【考点】同底数幂的除法;幂的乘方与积的乘方.

【分析】根据幂的乘方，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案.

【解答】解：52y=(5y)2=36.

5x﹣2y=5x÷52y=12÷36= ，

故答案为： .

【点评】本题考查了同底数幂的除法，利用幂的乘方得出同底数幂的除法是解题关键.

14.如果多项式2x2﹣3kx+1能分解因式，其结果是(2x+1)(x+1)，则k=﹣1.

【考点】因式分解-十字相乘法等.

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得2x2﹣3kx+1=(2x+1)(x+1)，再根据整式的乘法，可得多项式，根据相等多项式中相应的项的系数相等，可得答案.

【解答】解：2x2﹣3kx+1=(2x+1)(x+1)，

(2x+1)(x+1)=2x2+3x+1=2x2﹣3kx+1，

﹣3k=3，

解得k=﹣1，

故答案为：﹣1.

【点评】本题考查了因式分解，相等多项式中相应的项的系数相等得出﹣3k=3是解题关键.

15.某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是36米2.

【考点】勾股定理的逆定理;勾股定理.

【分析】连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断三角形ACD是直角三角形.这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和.

【解答】解：连接AC，如图，

∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，

∵AB=3米，BC=4米，∴AC=5米，

∵CD=12米，DA=13米，

∴△ACD为直角三角形，

∴草坪的面积等于=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36米2.

故答案为36.

【点评】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形.

16.定义运算a★b=(1﹣a)b，下面给出了关于这种运算的四个结论：

①2★(﹣2)=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，则(a★a)+(b★b)=2ab

④若a★b=0，则a=1或b=0.

其中正确结论的序号是③④(填上你认为正确的所有结论的序号).

【考点】因式分解的应用.

【专题】新定义.

【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.

【解答】解：①2★(﹣2)=(1﹣2)×(﹣2)=2，本选项错误;

②a★b=(1﹣a)b，b★a=(1﹣b)a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误;

③若a+b=0，则(a★a)+(b★b)=(1﹣a)a+(1﹣b)b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确;

④若a★b=0，即(1﹣a)b=0，则a=1或b=0，本选项正确，

其中正确的有③④.

故答案为③④.

【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

三、解答题(本大题共8个小题，共72分)解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.

17.计算下列各题

(1)(﹣2m+1)(2m+1)

(2)简便计算：2014×2016﹣20152

(3)[(x﹣2y)2+(x﹣2y)(x+2y)﹣2x(2x﹣y)]÷2x.

【考点】整式的混合运算.

【专题】计算题;整式.

【分析】(1)原式利用平方差公式计算即可得到结果;

(2)原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果;

(3)原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果.

【解答】解：(1)原式=1﹣(2m)2=1﹣4m2;

(2)原式=×﹣20152=20152﹣1﹣20152=﹣1;

(2)原式=(x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy)÷2x=(﹣2x2﹣2xy)÷2x=﹣x﹣y.

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.把下列多项式分解因式

(1)﹣a+a3b2

(2)(x﹣1)(x﹣3)+1.

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】计算题;因式分解.

【分析】(1)原式提取a，再利用平方差公式分解即可;

(2)原式整理后，利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：(1)原式=﹣a(1﹣a2b2)=﹣a(1+ab)(1﹣ab);

(2)原式=x2﹣4x+4=(x﹣2)2.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

19.如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求证：BC=DE.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可.

【解答】证明：∵∠1=∠2，

∴∠CAB=∠DAE，

在△BAC和△DAE中，，

∴△BAC≌△DAE(SAS)，

∴BC=DE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键.

20.为了解今年初二学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初二全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如图表：

成绩频数频率

优秀 45 b

良好 a 0.3

合格 105 0.35

不合格 60 c

请结合图表所给出的信息解答下列问题：

(1)该校初二学生共有多少人?

(2)求表中a，b，c的值，并补全条形统计图.

【考点】条形统计图;频数(率)分布表.

【专题】计算题.

【分析】(1)用合格的人数除以它所占的百分比即可得到该校初二学生的总人数;

(2)先用总人睡300乘以0.3即可得到a的值，再用45除以总人数300即可得到b的值，然后60除以300即可得到c的值，再补全统计图.

【解答】解：(1)105÷0.35=300(人);

即该校初二学生共有300人;

(2)a=300×0.3=90，

b=45÷300=0.15，

c= =0.2，

条形统计图为：

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来;从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较.

21..阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如图：

请你回答：

(1)作图第一步为什么要大于 AB的长?

(2)小芸的作图是否正确?请说明理由.

【考点】作图—基本作图;全等三角形的判定与性质.

【分析】(1)如果等于 AB，那么只相交一点;如果小于 AB，那么没有相交;

(2)依据SSS证明△CAD≌△CBD，从而得到CD是AB的对称轴，故此CD是AB的垂直平分线.

【解答】解：(1)如果等于，那么只相交一点;如果小于，那么没有相交

所以作图第一步要大于 AB的长.

(2)小芸的作图是正确的.

理由：由作图知：AC=AD BC=BD 而CD是两个三角形的公共边.

∵在△CAD和△CBD中

∴△CAD≌△CBD(SSS).

∴CD是AB的对称轴

∴CD是AB的垂直平分线.

【点评】本题主要考查的值基本作图﹣线段垂直平分线的作法，证得△CAD≌△CBD是解题的关键.

(1)求公益广告牌的高度AB;

(2)求∠BDC的度数.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】(1)直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出BC的长即可得出AB的长;

(2)利用已知结合(1)中所求得出△DBC是等腰直角三角形，进而得出答案.

【解答】解：(1)在直角三角形ADC中，

AC= = =4(m)，

在直角三角形BDC中，

BC= = =3(m)，

故AB=AC﹣BC=1(米)

答：公益广告牌的高度AB的长度为1m;

(2)∵在直角三角形BDC中，BC=CD=3m，

∴△DBC是等腰直角三角形，

∴∠BDC=45°.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键.

23.仔细.观察下列各式及其展开式：

请你根据上式各项系数的规律，求出(a+b)9的展开式.

【考点】完全平方公式.

【专题】规律型.

【分析】先根据题意画出图形，再根据图形得出即可.

【解答】解：如图：

(a+b)9=a9+9a8b+36a7b2+84a6b3+126a5b4+126a4b5+84a3b6+36a2b7+9ab8+b9.

【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能根据题意得出图形是解此题的关键.

【考点】勾股定理;矩形的性质.

【分析】根据矩形的性质得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角三角形和等腰三角形的性质得出∠BDF=∠DBF，因此DF=BF=4，得出CF=4﹣x，由勾股定理求出DF，即可得出代数式的值.

【解答】解：由题意知：AB=CD=x，AD=BC=y，CD⊥BE，

∵BD⊥DE，

∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°，

∵DF=EF，

∴∠E=∠FDE，

∴∠BDF=∠DBF，

∴DF=BF=4，

∴CF=4﹣x，

在Rt△CDF中，

∴ = .

【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质;熟练掌握勾股定理，证出DF=BF是解决问题的关键.

25.如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE.

(1)填空：∠CAM=30度;

(2)若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC;

(3)当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值?并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;

(2)根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC;

(3)分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由(2)可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论;当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出结论;当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论.

【解答】解：(1)∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°.

∵线段AM为BC边上的中线

∴∠CAM= ∠BAC，

∴∠CAM=30°.

故答案为：30;

(2)∵△ABC与△DEC都是等边三角形

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE

∴∠ACD=∠BCE.

在△ADC和△BEC中

，

∴△ACD≌△BCE(SAS);

(3)∠AOB是定值，∠AOB=60°，

理由如下：

①当点D在线段AM上时，如图1，由(2)可知△ACD≌△BCE，则∠CBE=∠CAD=30°，

又∠ABC=60°

∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°，

∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线

∴AM平分∠BAC，即

∴∠BOA=90°﹣30°=60°.

②当点D在线段AM的延长线上时，如图2，

∵△ABC与△DEC都是等边三角形

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE

∴∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE(SAS)

∴∠CBE=∠CAD=30°，

同理可得：∠BAM=30°，

∴∠BOA=90°﹣30°=60°.

③当点D在线段MA的延长线上时，

∵△ABC与△DEC都是等边三角形

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°

∴∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE(SAS)

∴∠CBE=∠CAD

同理可得：∠CAM=30°

∴∠CBE=∠CAD=150°

∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，

∴∠BOA=90°﹣30°=60°.

综上，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB=60°.

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

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