求双曲线的标准方程

在数学中，双曲线(希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。

求双曲线的标准方程

(1)焦点在X轴上，虚轴长为12，离心率为5/4?

(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y=+3/2x或-3/2x?

解：

(1)设双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)

根据题意2b=12，∴b=6 ∴b^2=36

∵e^2 = c^2/a^2

=(a^2 + b^2 )/ a^2

=(a^2 + 36)/ a^2

= 25 / 16

∴a^2 = 64 ∴双曲线方程为x^2/64 - y^2/36 = 1

(2)设双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)

或y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1(a>0,b>0)

∵顶点间的距离为6 ∴2a=6 ∴a=3 ∴a^2 = 9

∵渐近线方程为y=±(3/2)x

∴y=±(b/a)x=±(3/2)x 或 y=±(a/b)x=±(3/2)x

∴b=9/2 ∴b^2 = 81/4 或 b=2 ∴b^2=4

双曲线方程为x^2/9 - 4y^2/81 = 1 或 y^2/9 - x^2/4 = 1