武汉市九年级数学上册期末试卷

经历了九年级一学期的努力奋战，检验学习成果的时刻就要到了，在即将到来的期末考试，教师们要准备哪些期末试卷的内容呢?下面是小编为大家带来的关于武汉市九年级数学上册期末试卷，希望会给大家带来帮助。

武汉市九年级数学上册期末试卷：

一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)

1.方程2x2﹣3x+2=0的二次项系数和一次项系数分别为( )

A.3和﹣2 B.2和﹣3 C.2和3 D.﹣3和2

【考点】一元二次方程的一般形式.

【分析】根据方程得出二次项系数和一次项系数即可.

【解答】解：2x2﹣3x+2=0

二次项系数为2，一次项系数为﹣3，

故选B.

【点评】本题考查了对一元二次方程的一般形式的应用，能理解题意是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号.

2.一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是( )

A.m>1 B.m=1 C.m<1 D.m≤1

【考点】根的判别式.

【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可.

【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，

∴△≥0，

即4﹣4m≥0，

∴﹣4m≥﹣4，

∴m≤1.

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;

(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;

(3)△<0⇔方程没有实数根.

3.将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )

A.y=﹣2(x+1)2﹣1 B.y=﹣2(x+1)2+3 C.y=﹣2(x﹣1)2+1 D.y=﹣2(x﹣1)2+3

【考点】二次函数图象与几何变换.

【专题】几何变换.

【分析】根据图象右移减，上移加，可得答案.

【解答】解;将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y=﹣2(x﹣1)2+3，

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是：左加右减，上加下减.

4.已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的全面积是( )

A.12π B.15π C.24π D.30π

【考点】圆锥的计算.

【专题】计算题.

【分析】先利用勾股定理计算出母线长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长计算出圆锥的侧面积，然后计算侧面积与底面积的和即可.

【解答】解：圆锥的母线长= =5，

所以这个圆锥的全面积=π•32+ •2π•3•5=24π.

故选C.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

5.⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为( )

A.2 B.4 C.4 D.8

【考点】垂径定理;等腰直角三角形;圆周角定理.

【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE= OC=2 ，然后利用CD=2CE进行计算.

【解答】解：∵∠A=22.5°，

∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，

∴CE= OC=2 ，

∴CD=2CE=4 .

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理.

6.在平面直角坐标系中，点M(3，﹣5)关于原点对称的点的坐标是( )

A.(﹣3，﹣5) B.(3，5) C.(5，﹣3) D.(﹣3，5)

【考点】关于原点对称的点的坐标.

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案.

【解答】解：点M(3，﹣5)关于原点对称的点的坐标是(﹣3，5)，

故选：D.

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.

7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )

A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】压轴题.

【分析】作CD⊥AB于点D.根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断.

【解答】解：作CD⊥AB于点D.

∵∠B=30°，BC=4cm，

∴CD= BC=2cm，

即CD等于圆的半径.

∵CD⊥AB，

∴AB与⊙C相切.

故选：B.

【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法.通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：

当R>d时，直线与圆相交;当R=d时，直线与圆相切;当R

8.用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为( )

A.(x+1)2=0 B.(x﹣1)2=0 C.(x+1)2=2 D.(x﹣1)2=2

【考点】解一元二次方程-配方法.

【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方.

【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1

配方得(x﹣1)2=2.

故选D.

【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边;

(2)把二次项的系数化为1;

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.

9.已知二次函数y=﹣(x+h)2，当x<﹣3时，y随x增大而增大，当x>0时，y随x增大而减小，且h满足h2﹣2h﹣3=0，则当x=0时，y的值为( )

A.﹣1 B.1 C.﹣9 D.9

【考点】二次函数的性质.

【分析】根据h2﹣2h﹣3=0，求得h=3或﹣1，根据当x<﹣3时，y随x增大而增大，当x>0时，y随x增大而减小，从而判断h=3符合题意，然后把x=0代入解析式求得y的值.

【解答】解：∵h2﹣2h﹣3=0，

∴h=3或﹣1，

∵当x<﹣3时，y随x增大而增大，当x>0时，y随x增大而减小，

∴h=3符合题意，

∴二次函数为y=﹣(x+3)2，

当x=0时，y=﹣9.

故选C.

【点评】本题考查了二次函数的性质，根据题意确定h=3是解题的关键.

10.⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点.若∠CDE=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R，则 的长度是( )

A. B. C. D.

【考点】弧长的计算;多边形内角与外角;圆周角定理;切线的性质;切线长定理.

【专题】压轴题.

【分析】点C、D、E都在⊙P上，由圆周角定理可得：∠DPE=2y°;然后在四边形BDPE中，求出∠B;最后利用弧长公式计算出结果.

【解答】解：根据题意，由切线长定理可知：PC=PD=PE，

即点C、D、E在以P为圆心，PC长为半径的⊙P上，

由圆周角定理得：∠DPE=2∠ECD=2y°.

连接BD、BE，则∠BDP=∠BEP=90°，

在四边形BDPE中，∠B+∠BDP+∠DPE+∠BEP=360°，

即：∠B+90°+2y°+90°=360°，

解得：∠B=180°﹣2y°.

∴ 的长度是： = .

故选B.

【点评】本题考查圆的相关性质.解题关键是确定点C、D、E在⊙P上，从而由圆周角定理得到∠DPE=2∠ECD=2y°.

二、填空题(每小题3分，共18分)

11.方程x2﹣2x﹣ =0的判别式的值等于5.

【考点】根的判别式.

【分析】写出a、b、c的值，再根据根的判别式△=b2﹣4ac代入数据进行计算即可.

【解答】解：由题意得：a=1，b=﹣2，c=﹣ ，

△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×(﹣ )=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)根的判别式.当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.

12.抛物线y=﹣ x2﹣2x+1的顶点坐标为(﹣2，3).

【考点】二次函数的性质.

【专题】推理填空题.

【分析】将y=﹣ x2﹣2x+1化为顶点式即可得抛物线的顶点坐标，本题得以解决.

【解答】解：∵y=﹣ x2﹣2x+1

∴ ，

∴此抛物线的顶点坐标为(﹣2，3)，

故答案为：(﹣2，3).

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是可以将抛物线的解析式化为顶点式.

13.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图.⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交(E，F是交点)，已知EF=CD=8，则⊙O的半径为5.

【考点】垂径定理的应用;勾股定理;切线的性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】首先由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧 于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH=8﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣(16﹣r)2=82，解此方程即可求得答案.

【解答】解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧 于点H、I，再连接OF，

在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，

∴IG⊥AD，

∴在⊙O中，FH= EF=4，

设求半径为r，则OH=8﹣r，

在Rt△OFH中，r2﹣(8﹣r)2=42，

解得r=5，

故答案为：5.

【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.

14.已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y= x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为( ，2)或(﹣ ，2).

【考点】直线与圆的位置关系;二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】当⊙P与x轴相切时，点P的纵坐标是2或﹣2，把点P的坐标坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标.

【解答】解：依题意，可设P(x，2)或P(x，﹣2).

①当P的坐标是(x，2)时，将其代入y= x2﹣1，得

2= x2﹣1，

解得x=± ，

此时P( ，2)或(﹣ ，2);

②当P的坐标是(x，﹣2)时，将其代入y= x2﹣1，得

﹣2= x2﹣1，即﹣1= x2

无解.

综上所述，符合条件的点P的坐标是( ，2)或(﹣ ，2);

故答案是：( ，2)或(﹣ ，2).

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征.解题时，为了防止漏解或错解，一定要分类讨论.

15.把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3.自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，以长度分别为x、y、5的三条线段能构成三角形的概率为 .(注：长度单位一致)

【考点】列表法与树状图法;三角形三边关系.

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率.

【解答】解：列表得：

x

y 1 2 3

1 (1，2) (2，2) (3，2)

2 (1，4) (2，4) (3，4)

3 (1，6) (2，6) (3，6)

因此，点A(x，y)的个数共有9个;

则x、y、5的三条线段能构成三角形的有4组：2，4，5;3，4，5;2，6，5;3，6，5;

可得P= .

故答案为： .

【点评】此题主要考查了三角形三边关系和列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

16.扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在 上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为2π﹣4.

【考点】扇形面积的计算;二次函数的最值;勾股定理.

【专题】几何图形问题.

【分析】由OC=4，点C在 上，CD⊥OA，求得DC= = ，运用S△OCD= OD• ，求得OD=2 时△OCD的面积最大，运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积求解.

【解答】解：∵OC=4，点C在 上，CD⊥OA，

∴DC= =

∴S△OCD= OD•

∴ = OD2•(16﹣OD2)=﹣ OD4+4OD2=﹣ (OD2﹣8)2+16

∴当OD2=8，即OD=2 时△OCD的面积最大，

∴DC= = =2 ，

∴∠COA=45°，

∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积= ﹣ ×2 ×2 =2π﹣4，

故答案为：2π﹣4.

【点评】本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，解题的关键是求出OD=2 时△OCD的面积最大.

三、解答题(共8题，共72分)

17.解方程：x(x﹣3)=4x+6.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【专题】计算题.

【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程.

【解答】解：x2﹣7x﹣6=0，

△=(﹣7)2﹣4×1×(﹣6)=73，

x= ，

所以x1= ，x2= .

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：利用求根公式解方程.解决本题的关键是把方程化为一般式，确定a、b、c的值.

18.在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x，y).

(1)请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标;

(2)求点P(x，y)在函数y=﹣x+5图象上的概率.

【考点】列表法与树状图法;一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】分类讨论.

【分析】(1)首先根据题意画出表格，即可得到P的所以坐标;

(2)然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=﹣x+5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案

【解答】解：列表得：

y

x

(x，y) 1 2 3 4

1 (1，2) (1，3) (1，4)

2 (2，1) (2，3) (2，4)

3 (3，1) (3，2) (3，4)

4 (4，1) (4，2) (4，3)

(1)点P所有可能的坐标有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12种;

(2)∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=﹣x+5图象上的有4种，

即：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)

∴点P(x，y)在函数y=﹣x+5图象上的概率为：P= .

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.

19.已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF.

(1)求证：DE是⊙O的切线;

(2)若AB=6，BD=3，求AE和BC的长.

【考点】切线的判定;三角形的外接圆与外心.

【专题】计算题;证明题;压轴题.

【分析】要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可.

【解答】证明：(1)连接OC;

∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE=CF，

∴∠1=∠2.

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，∠1=∠3.

∴OC∥AE.

∴OC⊥CD.

∴DE是⊙O的切线.

(2)∵AB=6，

∴OB=OC= AB=3.

在Rt△OCD中，OD=OB+BD=6，OC=3，

∴∠D=30°，∠COD=60°.

在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，

∴AE= AD= .

在△OBC中，∵∠COD=60°，OB=OC，

∴BC=OB=3.

【点评】本题考查了切线的判定，和解直角三角形.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.

20.在平面直角坐标系xOy中，△AOB三个顶点的坐标分别为O(0，0)、A(﹣2，3)、B(﹣4，2)，将△AOB绕点O逆时针旋转90°后，点A、O、B分别落在点A′、O′、B′处.

(1)在所给的直角坐标系xOy中画出旋转后的△A′O′B′;

(2)求点B旋转到点B′所经过的弧形路线的长.

【考点】作图-旋转变换;弧长的计算.

【分析】(1)由△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A′O′B′可得OA′⊥OA，OB′⊥OB，A′B′⊥AB，OA′=OA，OB′=OB，A′B′=AB，故可画出△A′OB′的图形;

(2)点B旋转到点B′所经过的弧形，由图形可得出OB的长度和∠BOB′的弧度，由弧长公式可得出点B旋转到点B′所经过的弧形路线的长.

【解答】解：(1)如图; …

(2)易得：OB= =2 ;

∴ 的弧长=

=

= π，

所以点B旋转到点B'所经过的弧形路线的长为 π.…

【点评】本题主要考查了旋转的性质及弧长的计算公式，题目比较简单，关键是根据题意正确画出图形.

21.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的表达式为y=﹣ x2+2.

(1)若菜农的身高是1.60米，他在不弯腰的情况下，横向活动的范围是几米?(精确到0.01米)

(2)大棚的宽度是多少?

(3)大棚的最高点离地面几米?

【考点】二次函数的应用.

【分析】(1)根据题意求出y=1.6时x的值，进而求出答案;

(2)根据题意求出y=0时x的值，进而求出答案;

(3)直接求出函数最值即可.

【解答】解：(1)∵抛物线的大棚函数表达式为y=﹣ x2+2，

∴菜农的身高为1.6m，即y=1.6，

则1.6=﹣ x2+2，

解得x≈±0.894.

故菜农的横向活动的范围是0.894﹣(﹣0.894)=1.788≈1.79(米);

(2)当y=0则，0=﹣ x2+2，

解得：x1=2，x2=﹣2，

则AB=2×2=4米，

所以大棚的宽度是4m;

(3)当x=0时，y最大=2，

即大棚的最高点离地面2米.

【点评】此题主要考查了二次函数应用以及一元二次方程的解法，正确理解方程与函数关系是解题关键.

22.某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量w (千克)与销售价x (元/千克)有如下关系：w=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为y (元).

(1)求y与x之间的函数关系式，自变量x的取值范围;

(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?

(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?

(参考关系：销售额=售价×销量，利润=销售额﹣成本)

【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用.

【分析】(1)根据销售利润y=(每千克销售价﹣每千克成本价)×销售量w，即可列出y与x之间的函数关系式;

(2)先利用配方法将(1)的函数关系式变形，再利用二次函数的性质即可求解;

(3)先把y=150代入(1)的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值.

【解答】解：(1)y=w(x﹣20)

=(x﹣20)(﹣2x+80)

=﹣2x2+120x﹣1600，

则y=﹣2x2+120x﹣1600.

由题意，有 ，

解得20≤x≤40.

故y与x的函数关系式为：y=﹣2x2+120x﹣1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40;

(2)∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200，

∴当x=30时，y有最大值200.

故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元;

(3)当y=150时，可得方程﹣2x2+120x﹣1600=150，

整理，得x2﹣60x+875=0，

解得x1=25，x2=35.

∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x2=35不合题意，应舍去.

故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元.

【点评】本题考查了二次函数的应用，难度适中.得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，利用配方法或公式法求解二次函数的最值问题是常用的解题方法.

23.已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上(不含点A、B)，把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上.

(1)当P、C都在AB上方时(如图1)，判断PO与BC的位置关系(只回答结果);

(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2)，(1)中结论还成立吗?证明你的结论;

(3)当P、C都在AB上方时(如图3)，过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD.

【考点】切线的性质;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.

【专题】几何综合题;压轴题.

【分析】(1)PO与BC的位置关系是平行;

(2)(1)中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠CPO=∠PCB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行;

(3)由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证.

【解答】解：(1)PO与BC的位置关系是PO∥BC;

(2)(1)中的结论PO∥BC成立，理由为：

由折叠可知：△APO≌△CPO，

∴∠APO=∠CPO，

又∵OA=OP，

∴∠A=∠APO，

∴∠A=∠CPO，

又∵∠A与∠PCB都为 所对的圆周角，

∴∠A=∠PCB，

∴∠CPO=∠PCB，

∴PO∥BC;

(3)∵CD为圆O的切线，

∴OC⊥CD，又AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠APO=∠COP，

由折叠可得：∠AOP=∠COP，

∴∠APO=∠AOP，

又OA=OP，∴∠A=∠APO，

∴∠A=∠APO=∠AOP，

∴△APO为等边三角形，

∴∠AOP=60°，

又∵OP∥BC，

∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，

∴△BCO为等边三角形，

∴∠COB=60°，

∴∠POC=180°﹣(∠AOP+∠COB)=60°，又OP=OC，

∴△POC也为等边三角形，

∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，

又∵∠OCD=90°，

∴∠PCD=30°，

在Rt△PCD中，PD= PC，

又∵PC=OP= AB，

∴PD= AB，即AB=4PD.

【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，折叠的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键.

24.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(2，0)，B(6，0)两点，交y轴于点 .

(1)求此抛物线的解析式;

(2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长;

(3)P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分?

【考点】二次函数综合题.

【专题】压轴题.

【分析】(1)将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值;

(2)根据(1)得到的抛物线的解析式，可求出其对称轴方程联立直线OD的解析式即可求出D点的坐标;由于⊙D与x轴相切，那么D点纵坐标即为⊙D的半径;欲求劣弧EF的长，关键是求出圆心角∠EDF的度数，连接DE、DF，过D作y轴的垂线DM，则DM即为D点的横坐标，通过解直角三角形易求得∠EDM和∠FDM的度数，即可得到∠EDF的度数，进而可根据弧长计算公式求出劣弧EF的长;

(3)易求得直线AC的解析式，设直线AC与PG的交点为N，设出P点的横坐标，根据抛物线与直线AC的解析式即可得到P、N的纵坐标，进而可求出PN，NG的长;Rt△PGA中，△PNA与△NGA同高不等底，那么它们的面积比等于底边PN、NG的比，因此本题可分两种情况讨论：

①△PNA的面积是△NGA的2倍，则PN：NG=2：1;②△PNA的面积是△NGA的 ，则NG=2PN;

可根据上述两种情况所得的不同等量关系求出P点的横坐标，进而由抛物线的解析式确定出P点的坐标.

【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2，0)，B(6，0)， ;

∴ ，

解得 ;

∴抛物线的解析式为： ;

(2)易知抛物线的对称轴是x=4，

把x=4代入y=2x，得y=8，

∴点D的坐标为(4，8);

∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8;

连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M;

在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，

∴cos∠MDF= ;

∴∠MDF=60°，

∴∠EDF=120°;

∴劣弧EF的长为： ;

(3)设直线AC的解析式为y=kx+b;

∵直线AC经过点 ，

∴ ，

解得 ;

∴直线AC的解析式为： ;

设点 ，PG交直线AC于N，

则点N坐标为 ，

∵S△PNA：S△GNA=PN：GN;

∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG= GN;

即 = ;

解得：m1=﹣3，m2=2(舍去);

当m=﹣3时， = ;

∴此时点P的坐标为 ;

②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN;

即 = ;

解得：m1=﹣12，m2=2(舍去);

当m=﹣12时， = ;

∴此时点P的坐标为 ;

综上所述，当点P坐标为 或 时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分.

【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图形面积的求法等知识，需要特别注意的是(3)题中，△PGA被直线AC所分成的两部分中，并没有明确谁大谁小，所以要分类讨论，以免漏解.