九年级数学上册第一次月考试题
九年级新学期的开始，又即将迎来数学的的第一次月考考试，同学们要准备哪些月考试题来练习熟悉考试题型呢?下面是小编为大家带来的关于九年级数学上册第一次月考试题，希望会给大家带来帮助。
九年级数学上册第一次月考试题：
一、选择题(共10题，每题3分，共30分)
1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为( )
A.ax2+bx+c=0 B.x2﹣2=(x+3)2 C. D.x2﹣1=0
考点： 一元二次方程的定义.
分析： A中应标明a≠0，B中去括号合并同类项后x2没有了，C是分式方程，D是一元二次方程.
解答： 解：一定是一元二次方程的是x2﹣1=0，
故选：D.
点评： 此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数;
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
2.△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是( )
A.csinA=a B.bcosB=c C.atanA=b D.ctanB=b
考点： 勾股定理的逆定理;锐角三角函数的定义.
分析： 由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项.
解答： 解：∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
A、sinA= ，则csinA=a.故本选项正确;
B、cosB= ，则cosBc=a.故本选项错误;
C、tanA= ，则 =b.故本选项错误;
D、tanB= ，则atanB=b.故本选项错误.
故选A.
点评： 本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
3.在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，则BC的长为( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
考点： 解直角三角形.
专题： 计算题.
分析： 根据正弦的定义得到sinA= = ，然后利用比例性质求BC.
解答： 解：
在Rt△ACB中，∵sinA= = ，
∴BC= ×10=6.
故选A.
点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.
4.已知A，B，C在⊙O上， 为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( )
A.2∠C B.4∠B C.4∠A D.∠B+∠C
考点： 圆周角定理.
分析： 根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C.
解答： 解：由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C.
故选：A.
点评： 此题考查了圆周角定理.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.
5.关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0的根的情况( )
A.有两个不相等的同号实数根 B.有两个不相等的异号实数根
C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
考点： 根的判别式.
专题： 计算题.
分析： 先计算出△=k2+4，则△>0，根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根;又根据根与系数的关系得到两根之积等于﹣1，则方程有两个异号实数根.
解答： 解：△=k2+4，
∵k2≥0，
∴△>0，
∴方程有两个不相等的实数根;
又∵两根之积等于﹣1，
∴方程有两个异号实数根，
所以原方程有两个不相等的异号实数根.
故选B.
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.也考查了一元二次方程根与系数的关系.
6.直线AB与▱MNPQ的四边所在直线分别交于A、B、C、D，则中的相似三角形有( )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
考点： 相似三角形的判定;平行四边形的性质.
分析： 考查相似三角形的判定问题，只要两个对应角相等，即为相似三角形.
解答： 解：由题意，AQ∥NP，MN∥BQ，
∴△ACM∽△DCN，△CDN∽△BDP，△BPD∽△BQA，△ACM∽△ABQ，△DCN∽△ABQ，△ACM∽△DBP，
所以中共有六对相似三角形.
故选C.
点评： 熟练掌握三角形的判定及性质.
7.要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( )
A.(11﹣2 )米 B.(11 ﹣2 )米 C.(11﹣2 )米 D.(11 ﹣4)米
考点： 解直角三角形的应用.
分析： 出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长.
解答： 解：延长OD，BC交于点P.
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2 m，PC=CD÷(sin30°)=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴ = ，
∴PB= = =11 米，
∴BC=PB﹣PC=(11 ﹣4)米.
故选：D.
点评： 本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念.
8.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为( )
A. B. C. D.
考点： 垂径定理;勾股定理.
专题： 探究型.
分析： 先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论.
解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= = =5，
过C作CM⊥AB，交AB于点M，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM= ，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+( )2，
解得：AM= ，
∴AD=2AM= .
故选C.
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
9.关于x的方程m(x+h)2+k=0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m(x+h﹣3)2+k=0的解是( )
A.x1=﹣6，x2=﹣1 B.x1=0，x2=5 C.x1=﹣3，x2=5 D.x1=﹣6，x2=2
考点： 解一元二次方程-直接开平方法.
专题： 计算题.
分析： 利用直接开平方法得方程m(x+h)2+k=0的解x=﹣h± ，则﹣h﹣ =﹣3，﹣h+ =2，再解方程m(x+h﹣3)2+k=0得x=3﹣h± ，所以x1=0，x2=5.
解答： 解：解方程m(x+h)2+k=0(m，h，k均为常数，m≠0)得x=﹣h± ，
而关于x的方程m(x+h)2+k=0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1=﹣3，x2=2，
所以﹣h﹣ =﹣3，﹣h+ =2，
方程m(x+h﹣3)2+k=0的解为x=3﹣h± ，
所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5.
故选：B.
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=± ;如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式，那么nx+m=± .
10.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2).延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第2011个正方形(正方形ABCD看作第1个)的面积为( )
A.5( )2010 B.5( )2010 C.5( )2011 D.5( )2011
考点： 正方形的性质;坐标与形性质;勾股定理.
专题： 规律型.
分析： 先求出第一个正方形的边长和面积，再求出第二个正方形的边长和面积，根据第一个正方形和第二个正方形的面积得出规律，根据规律即可得出结论.
解答： 解：∵点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2).∠AOD=90°，
∴AD= = ，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，AB=AD=BC= ，
∴正方形ABCD的面积为： × =5，∠ABB1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，
∴∠ODA=∠BAA1，
∴△ODA∽△BAA1，
∴ = ，
∴BA1= ，
∴CA1=BC+BA1= ，
∴第二个正方形的面积为： × =5× ，…，
得出规律，第2011个正方形的面积为：5 ;
故选：B.
点评： 本题考查了正方形的性质、坐标与形性质以及勾股定理;通过计算第一个正方形和第二个正方形的面积得出规律是解决问题的关键.
二、填空题(共8题，每空2分，共18分)
11.已知m、n是方程x2+3x﹣4=0的两个根，那么m+n= ﹣3 ，mn= ﹣4 .
考点： 根与系数的关系.
分析： 根据根与系数的关系求出两根之积和两根之和.
解答： 解：∵m、n是方程x2+3x﹣4=0的两个根，
∴m+n=﹣3，mn=﹣4.
故答案为：﹣3，﹣4.
点评： 此题主要考查了根与系数的关系，解答本题的关键是掌握两根之和和两根之积的表达式.
12.在△ABC中，|cosA﹣ |+(1﹣tanB)2=0，则∠C的度数是 75° .
考点： 特殊角的三角函数值;非负数的性质：绝对值;非负数的性质：偶次方.
分析： 根据题意得出cosA﹣ =0，1﹣tanB=0，进而得出∠A=60°，∠B=45°，再利用三角形内角和定理得出答案.
解答： 解：∵|cosA﹣ |+(1﹣tanB)2=0，
∴cosA﹣ =0，1﹣tanB=0，
∴cosA= ，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣60°﹣45°=75°.
故答案为：75°.
点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和偶次方的性质，正确记忆相关数据是解题关键.
13.下列命题：①长度相等的弧是等弧;②半圆既包括圆弧又包括直径;③相等的圆心角所对的弦相等;④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中正确的命题有 ②④ .
考点： 圆心角、弧、弦的关系;三角形的外接圆与外心;命题与定理.
专题： 探究型.
分析： 分别根据圆心角、弧、弦的关系;半圆的概念及三角形外心的性质对各小题进行逐一分析即可.
解答： 解：①只有在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，故本小题错误;
②符合半圆的概念，故本小题正确;
③在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本小题错误;
④锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部，故本小题正确.
故答案为：②④.
点评： 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形外心的性质，解答此题的关键是熟练掌握“只有在同圆或等圆中”圆心角、弧、弦的关系才能成立.
14.已知关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 m≤3且m≠2 .
考点： 根的判别式.
专题： 计算题.
分析： 根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×(m﹣2)×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围.
解答： 解：∵关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×(m﹣2)×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2.
故答案为 m≤3且m≠2.
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.
15.AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB=2 ，OH=1，则∠APB的度数是 60° .
考点： 垂径定理;圆周角定理;特殊角的三角函数值.
专题： 探究型.
分析： 连接OA，OB，先根据锐角三角函数的定义求出∠AOH的度数，故可得出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可得出结论.
解答： 解：连接OA，OB，
∵OH⊥AB，AB=2 ，
∴AH= AB= ，
∵OH=1，
∴tan∠AOH= = = .
∴∠AOH=60°，
∴∠AOB=2∠AOH=120°，
∴∠APB= ∠AOB= ×120°=60°.
故答案为：60°.
点评： 本题考查的是垂径定理及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键.
16.数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过 2或 秒后，点P在⊙O上.
考点： 点与圆的位置关系.
分析： 点P在圆上有两种情况，其一在圆心的左侧，其二点在圆心的右侧，据此可以得到答案.
解答： 解：设x秒后点P在圆O上，
∵原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，
∴当第一次点P在圆上时，
(2+1)x=7﹣1=6
解得：x=2;
当第二次点P在圆上时，
(2+1)x=7+1=8
解得：x=
答案为：2或 ;
点评： 本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是能够分类讨论.
17.已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= 5 .
考点： 勾股定理;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形.
分析： 过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长.
解答： 解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°= = ，OP=12，
∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND= MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
故答案为：5.
点评： 此题考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键.
18.在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 3 .
考点： 旋转的性质;等边三角形的性质;解直角三角形.
专题： 压轴题.
分析： 先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，得到DE=AD=5;过E点作EH⊥CD于H，设DH=x，则CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣(4﹣x)2，解得x= ，再计算出EH，然后根据正切的定义求解.
解答： 解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
过E点作EH⊥CD于H，设DH=x，则CH=4﹣x，
在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，
在Rt△DHE中，EH2=62﹣(4﹣x)2，
∴52﹣x2=62﹣(4﹣x)2，解得x= ，
∴EH= = ，
在Rt△EDH中，tan∠HDE= = =3 ，
即∠CDE的正切值为3 .
故答案为：3 .
点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的形全等.也考查了等边三角形的性质和解直角三角形.
三、解答题(共9题，共82分)
19.(10分)(2015秋•江阴市校级月考)解方程
(1)3(x﹣5)2=x(5﹣x);
(2)﹣ x2+3x= .
考点： 解一元二次方程-因式分解法.
专题： 计算题.
分析： (1)先移项得到3(x﹣5)2+x(x﹣5)=0，然后利用因式分解法解方程;
(2)先把方程化为整系数得到x2﹣6x+7=0，然后利用配方法解方程.
解答： 解：(1)3(x﹣5)2+x(x﹣5)=0，
(x﹣5)(3x﹣15+x)=0，
x﹣5=0或3x﹣15+x=0，
所以x1=5，x2= ;
(2)方程整理为x2﹣6x+7=0，
x2﹣6x+9=2，
(x﹣3)2=2，
x﹣3=± ，
所以x1=3+ ，x2=3﹣ .
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
20.(10分)(2015秋•江阴市校级月考)(1)计算：﹣24﹣ +|1﹣4sin60°|+(π﹣1)0;
(2)已知x2﹣4x+l=0，求 ﹣ 的值.
考点： 实数的运算;分式的化简求值;零指数幂;特殊角的三角函数值.
分析： (1)分别进行乘方、绝对值的化简、二次根式的化简、零指数幂等运算，然后合并;
(2)先根据题意求出x2﹣4x=﹣l，然后进行分式的化简，带入求解.
解答： 解：(1)原式=﹣16﹣2 +2 ﹣1+1
=﹣16;
(2)∵x2﹣4x+l=0，
∴x2﹣4x=﹣l，
∴ ﹣ =
=
=
=﹣23.
点评： 本题考查了实数的运算，涉及了乘方、绝对值的化简、二次根式的化简、零指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键.
21.已知方程x2﹣2mx+3m=0的两根x1、x2满足(x1+2)(x2+2)=22﹣m2，求m的值.
考点： 根与系数的关系.
专题： 计算题.
分析： 先根据根与系数的关系得到x1+x2=2m，x1x2=3m，再把已知条件变形可得3m+4m+4=22﹣m2，解得m1=﹣9，m2=2，然后利用根的判别式确定满足条件的m的值.
解答： 解：根据题意得x1+x2=2m，x1x2=3m，
∵(x1+2)(x2+2)=22﹣m2，
∴x1x2+2(x1+x2)+4=22﹣m2，
∴3m+4m+4=22﹣m2，
整理得m2+7m﹣18=0，解得m1=﹣9，m2=2，
当m=﹣9时，原方程变形为x2+18x﹣27=0，△>0，方程有两个不相等的实数解;
当m=2时，原方程变形为x2﹣4x+6=0，△<0，方程没有实数解，
∴m的值为﹣9.
点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2= ，x1x2= .
22.在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的长.
考点： 相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质.
专题： 压轴题.
分析： (1)利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC;
(2)利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度;然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.
解答： (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C.
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8.
由(1)知△ADF∽△DEC，
∴ ，∴DE= = =12.
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= = =6.
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点.题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错.
23.⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM：MD=3：2，E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F.求：
(1)⊙O的半径;
(2)求CE•CF的值.
考点： 垂径定理;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
专题： 计算题.
分析： (1)连结OB，设OM=3k，则MD=2k，OD=5k，根据垂径定理由直径CD⊥AB得到BM=AM= AB=4，在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，根据勾股定理得BM=4k，
则4k=4，解得k=1，于是得到圆O的半径为5;
(2)连结AE，在Rt△ACM中，CM=OC+OM=8，AM=4，由勾股定理计算出AC2=AM2+CM2=80，根据垂径定理由直径CD⊥AB得到弧AC=弧BC，在根据圆周角定理得∠AEC=∠CAF，易证得△CAE∽△CFA，得到相似比AC：CF=CE：AC，然后根据比例性质得CE•CF=AC2=80.
解答： 解：(1)连结OB，设OM=3k，则MD=2k，OD=5k，
∵直径CD⊥AB，
∴BM=AM= AB=4，
在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，
∴BM= =4k，
∴4k=4，解得k=1，
∴圆O的半径为5;
(2)连结AE，
在Rt△ACM中，CM=OC+OM=5+3=8，AM=4，
∴AC2=AM2+CM2=16+64=80，
∵直径CD⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AEC=∠CAF，
又∵∠ACF=∠FCA，
∴△CAE∽△CFA，
∴AC：CF=CE：AC，
∴CE•CF=AC2=80.
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质.
24.某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度(结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11， ≈1.73)
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
分析： 根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可.
解答： 解：过点D作DG⊥BC于GDH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形.
故DG=CH，CG=DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=3 ，
∴CG=3，
设BC为x，
在直角三角形ABC中，AC= = ，
∴DG=3 + ，BG=x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，
∴x﹣3=(3 + )
解得：x≈13，
∴大树的高度为：13米.
点评： 本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.
25.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆.
(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年初起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆;另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆.
考点： 一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.
分析： (1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列出方程，不合题意的解，舍去即可;
(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆，则得出2011年底和2012年底全市的汽车拥有量，从而列出不等式求解即可.
解答： 解：(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意得，15(1+x)2=21.6，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去).
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%;
(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆，
则2011年底全市的汽车拥有量为[21.6×(1﹣10%)+y]万辆，
2012年底全市的汽车拥有量为[21.6×(1﹣10%)+y]×(1﹣10%)+y万辆.
根据题意得：[21.6×(1﹣10%)+y]×(1﹣10%)+y≤23.196，
解得y≤3.
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆.
点评： 本题考查了一元二次方程和不等式的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.
26.(10分)(2015•宁夏)是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°;在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB.若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合.将三角板A1B1C1绕点C(A1)按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a.
(1)计算A1C1的长;
(2)当α=30°时，证明：B1C1∥AB;
(3)若a= ，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分形的面积;
(4)当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分形的面积.
(参考数据：sin15°= ，cos15°= ，tan15°=2﹣ ，sin75°= ，cos75°= ，tan75°=2+ )
考点： 几何变换综合题.
专题： 压轴题;创新题型.
分析： (1)在Rt△ABC中，由特殊锐角三角函数值，先求得BC的长，然后在Rt△A1B1C1中利用特殊锐角三角函数即可求得A1C1的长;
(2)利用三角形的外角的性质求得∠BMC=90°，然后利用同位角相等，两直线平行进行判定即可;
(3)两个三角板重叠部分形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积;
(4)两个三角板重叠部分形的面积=△CC1B1的面积﹣三角形FB1C的面积﹣三角形DC1M的面积.
解答： 解：(1)在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=a，
由特殊锐角三角函数可知： ，
∴BC= .
∴B1C=
在Rt△A1B1C1，∠B1=∠45°，
∴ .
∴A1C1= = .
(2)∵∠ACM=30°，∠A=60°，
∴∠BMC=90°.
∴∠C1=∠BMC.
∴B1C1∥AB.
(3)如下：
由(1)可知：A1C1= = =3+
∴△A1B1C1的面积= =
∵∠A1B1C1=45°，∠ABC=30°
∴∠MBC1=15°
在Rt△BC1M中，C1M=BCtan15°=(3+ )(2﹣ )=3﹣ ，
∴Rt△BC1M的面积= = =3.
∴两个三角板重叠部分形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积=3 +3.
(4)由(1)可知：BC= ，A1C1= ，
∴C1F=A1C1•tan30°= a，
∴ = = × a× a= a2，
∵∠MCA=60°，∠A=60°，
∴∠AMC=60°
∴MC=AC=MA=a.
∴C1M=C1A1﹣MC= .
∵∠MCA=60°，
∴∠C1A1B=30°，
∴∠C1MD=∠B+∠C1A1B=60°
在Rt△DC1M中，由特殊锐角三角函数可知：C1D=C1M•tan60°= a，
∴ = C1M•C1D= a2，
两个三角板重叠部分形的面积= ﹣ = C1M= a2﹣ a2= a2.
点评： 本题主要考查的是锐角三角函数和三角形的综合应用，难度较大，解答本题的关键是灵活应用锐角函数求得相关线段的长度.
27.(12分)(2012•北京)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|.
例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1﹣3|<|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).
(1)已知点A(﹣ ，0)，B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)已知C是直线y= x+3上的一个动点，
①2，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;
②3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.
考点： 一次函数综合题.
专题： 压轴题.
分析： (1)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0，y).由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|=2，据此可以求得y的值;
②设点B的坐标为(0，y).因为|﹣ ﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣ ﹣0|= ;
(2)①设点C的坐标为(x0， x0+3).根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0= x0+2，据此可以求得点C的坐标;
②当点E在过原点且与直线y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E(﹣ ， ).解答思路同上.
解答： 解：(1)①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为(0，y).
∵|﹣ ﹣0|= ≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2;
∴点B的坐标是(0，2)或(0，﹣2);
②点A与点B的“非常距离”的最小值为
(2)①2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.即AC=AD，
∵C是直线y= x+3上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，
∴设点C的坐标为(x0， x0+3)，
∴﹣x0= x0+2，
此时，x0=﹣ ，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|= ，
此时C(﹣ ， );
②当点E在过原点且与直线y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E(x，y)(点E位于第二象限).则
，
解得， ，
故E(﹣ ， ).
﹣ ﹣x0= x0+3﹣ ，
解得，x0=﹣ ，
则点C的坐标为(﹣ ， )，
最小值为1.
点评： 本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键.